控制之美（卷2）第四节——线性卡尔曼滤波器的研究模型

Zhao_kar

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控制之美（卷2）第四节——线性卡尔曼滤波器的研究模型

声明：

• 本节为是研究模型的概念，以及结合之前第二节部分的模型补充
• 然后会有一些数学推导，我会附上我自己记得笔记，可能会比较难看明白，还请体谅（数学推导基本跑不掉，很多的概念需要学习）

一、先引入状态空间方程

• 首先是定义一个带有过程噪声的线性离散系统的状态空间方程，见下图
• 其中从左到右依次为，状态向量，状态矩阵，输入矩阵，输入向量，过程噪声
• 过程噪声产生于从k-1到k的这个过程中，无法建立模型，但是可以通过前面补充的正态分布的部分的知识去估计
• 所以过程噪声服从一个期望0，协方差矩阵Qc的正态分布，见下图
  

   

二、然后是观测向量的定义

• 其中从左到右依次为观测向量、观测矩阵、状态向量、测量噪声
  

   

• 这个矩阵H代表观测值与状态向量的关系，观测值也就是设备读取到的值
• 同一的过程噪声，这个测量噪声也是一个服从Rc的正态分布
• 然后上面两个概念，都可以考虑协方差矩阵中，相互独立的情况，可以化简为对角矩阵
  

   

 

三、引入先验状态估计

• 由于上面两个模型，都具备噪声，都没办法求我们需要的状态向量，但是通过卡尔曼滤波器去数据融合，就可以得到一个相对准确的估值
• 先假定时不变系统，也就是两个矩阵为常数
• 则先验状态估计为，见下
  

   

• 相对原先等式少了过程噪声，同时用估计值代替实际值
• 同理，对测量值也做一样处理，引入测量估计
• 其表示通过测量得到的状态估计值，同时因为测量噪声，所以也是一个根据测量值的估计值
• 通过这两个估计值，一个是状态空间方程算的，一个是测量后得到的
• 综上，定义后验状态估计为
• 然后进行融合，也就是第二节提到的思路，可以得到如下结果。
  

 

• 其中右边括号部分也称为测量残余，当K趋近0时，说明Xk=Xk-，也就是说测量噪声远大于过程噪声
• 此时有后验接近于先验，相反，K接近于Hm逆时，则说明后验接近于测量值

上述均为卡尔曼滤波器的一般模型的解释，实际运用中，可以根据这个数据融合的思路去用于其他的模型。

 

yangfang0916

继续学习中~