关于 CMSIS-DSP 库中 Q15 这种类型的定点数的一些总结

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上一篇：《为 SensorTile 工程引入 DSP 库》

虽然 SensorTile 拥有 FPU 加速浮点运算，但由于传感器输出的数据不是浮点数，我还是作死地想用 DSP 的定点数试一试。
定点数有许多种标准。CMSIS-DSP 库使用的定点数类型为 Q 型（也叫 Qm.n），这是一个很方便能够直接用于传感器数据的定点数类型。网络上资料不好找，但是在 Wikipedia 也有一些信息： Q (number format)

Q7, Q15, Q31 ……都是什么玩意儿？

Qm.n 表示一个占用 (m+n) 比特的Q型定点数。

简单地理解就是 Qm.n 能够告诉 DSP 库这个整数和实际数值之间的比值：2 的 n 次方。如果 m=1 可以简写为 Qn，比如 Q1.15 可以简写为 Q15，但是它占用的还是 16bits，也就是2字节。因此，很多地方采用 (signed) short 来表示 Q15，因为只需要除以一个常数（见下文），就可以得到对应的浮点数了，超方便。

在 CMSIS-DSP 常用的是 Q15，Q31等等，分别表示除以 32768，除以 2147483648 就可以得到实际的浮点数。
反之，乘以这个倍数，然后取整，就可以得到 Q15、Q31格式的表示。

Q型定点数的取值范围

这就引入了一个问题：数值范围。大家都知道一个 signed short 范围是 –32,768 到 32,767，除以那个比例关系（32768），则可得知：一个 Q15 表示的实数范围是 [-1, 1.99997]
如果遇到 FFT 这种一言不合就10的N次方数量级的算法， Q15 表示范围太小显然不够使用！！那么怎么办？


不要忘记 Q15 只是 Q1.15 的简写。我们还有：

• Q2.14，比例系数16384，表示范围大约是 [-2, 2)
• Q3.13，比例系数8192，表示范围大约是 [-4, 4)
• Q4.12，比例系数4096，表示范围大约是 [-8, 8)
  

• Q5.11，比例系数2048，表示范围大约是 [-16, 16)
• ……
  

因此，有一个很重要的坑就是：在 CMSIS-DSP 库的定点数 FFT 中，你输入一堆 Q15 的数据，出来的数据格式不是 Q15，而且还和数据长度有关系！

以下是定点数 FFT 的输入-输出数据格式对照表，要点是前三列。第四列表示比例系数被缩小了 2 的多少次方倍：



iFFT 运算也会变类型（虽然感觉这个表格有点问题）……这是在定点数的游戏规则下不得已的办法。




在CMSIS-DSP中与浮点数型互相转换


前面第二节已经说过如何与浮点数互相转换了：除以/乘以比例系数即可。简单地手写一个循环即可。如果想要偷懒， CMSIS-DSP 也有对应的函数，比如：
arm_float_to_q31(float *src, short *dst, int count) 可以转换浮点数组为 Q31 数组。

更多偷懒函数可以在 https://www.keil.com/pack/doc/CMSIS/DSP/html/group__groupSupport.html 查到。