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电子工程世界-论坛»论坛 › 电子技术交流 › 测评中心专版 › 《深度学习的数学——使用Python语言》6. 线性代数

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38 帖子	0 TA的资源

一粒金砂（中级）

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发表于2025-1-6 18:55 只看该作者

《深度学习的数学——使用Python语言》6. 线性代数 [复制链接]

线性代数在深度学习中是解决多维数学对象计算问题的核心工具。这些数学对象包括标量、向量、矩阵和张量，借助它们可以高效地对数据进行操作和建模。以下将详细介绍这些数学对象及其在深度学习中的典型用途。
# 数学对象概述
## 标量
标量是最简单的数学对象，通常表示单个数值变量，是构成高阶数据结构的基础。例如：
```python
import numpy as np
x = 42# 标量
print(x)
```
## 向量
向量由标量组成，表示为一维数组。根据表示方式不同，可以分为行向量和列向量。在深度学习中，向量常用于描述样本的多个特征。例如：
```python
import numpy as np
x = np.array([1,2,3])
print(x)
print(x.shape)
print(x.reshape((3,1)))
```

<ignore_js_op>

<img id="aimg_877985" style="cursor:pointer;" aid="877985" src="static/image/common/none.gif" zoomfile="data/attachment/forum/202501/06/185425by73972phishp2h3.png" file="data/attachment/forum/202501/06/185425by73972phishp2h3.png" class="zoom" onclick="zoom(this, this.src, 0, 0, 0)" width="270" id="aimg_877985" inpost="1" onmouseover="showMenu({'ctrlid':this.id,'pos':'12'})" />

<div class="tip tip_4 aimg_tip" id="aimg_877985_menu" style="position: absolute; display: none" disautofocus="true">
<div class="xs0">
<p><strong>1.PNG</strong> <em class="xg1">(5.71 KB, 下载次数: 0)</em></p>
<p>
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<a href="javascript:;" onclick="showWindow(this.id, this.getAttribute('url'), 'get', 0);" id="savephoto_877985" url="home.php?mod=spacecp&ac=album&op=saveforumphoto&aid=877985&handlekey=savephoto_877985">保存到相册</a>

</p>

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<div class="tip_horn"></div>
</div>

</ignore_js_op>

在深度学习和机器学习中，向量的各个成员之间通常用于描述样本不同的特征。模型可以通过输入的这些特征量得到有用的输出，如分类标签或者是回归值。
## 矩阵
矩阵是由数字构成的二维数组。在矩阵中，各个元素所处的行数和列数为元素的下标。在python语言中，数组的下标是从0开始的，而在matlab语言中，数组的下标从1开始，不同语言的特点不同，需要注意。此外，在矩阵中，元素的位置由行和列索引确定。
```python
import numpy as np
A = np.arange(12).reshape((3,4))
print(A)
print(A[1,2])
print(A[0,0])
```

<ignore_js_op>

<img id="aimg_877986" style="cursor:pointer;" aid="877986" src="static/image/common/none.gif" zoomfile="data/attachment/forum/202501/06/185425pqs54z5o38s9q47q.png" file="data/attachment/forum/202501/06/185425pqs54z5o38s9q47q.png" class="zoom" onclick="zoom(this, this.src, 0, 0, 0)" width="336" id="aimg_877986" inpost="1" onmouseover="showMenu({'ctrlid':this.id,'pos':'12'})" />

<div class="tip tip_4 aimg_tip" id="aimg_877986_menu" style="position: absolute; display: none" disautofocus="true">
<div class="xs0">
<p><strong>2.PNG</strong> <em class="xg1">(8.89 KB, 下载次数: 0)</em></p>
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<a href="javascript:;" onclick="showWindow(this.id, this.getAttribute('url'), 'get', 0);" id="savephoto_877986" url="home.php?mod=spacecp&ac=album&op=saveforumphoto&aid=877986&handlekey=savephoto_877986">保存到相册</a>

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<div class="tip_horn"></div>
</div>

</ignore_js_op>

此外，我们可以看到除开头可结尾的[]外，每一行的数据都由一组[]包括着，这说明numpy将二维数组当作行向量来对待，其中每一个元素也为一个行向量。
## 张量
张量是更高维的数组，超越矩阵的二维结构。例如，在计算机视觉中，RGB图像可以表示为形状为c*h*w的三维张量，其中c表示通道数，h和w分别表示图像的高度和宽度。加上批量(batch size)维度后，形成四维张量。然而，不同框架可能对张量的维度顺序有不同约定，例如 ONNX 通常使用h*w*c。示例代码如下：
```python
import numpy as np
t = np.arange(36).reshape(3,3,4)
print(t)
```

<ignore_js_op>

<img id="aimg_877987" style="cursor:pointer;" aid="877987" src="static/image/common/none.gif" zoomfile="data/attachment/forum/202501/06/185426ecr03i00kuuiqn3i.png" file="data/attachment/forum/202501/06/185426ecr03i00kuuiqn3i.png" class="zoom" onclick="zoom(this, this.src, 0, 0, 0)" width="347" id="aimg_877987" inpost="1" onmouseover="showMenu({'ctrlid':this.id,'pos':'12'})" />

<div class="tip tip_4 aimg_tip" id="aimg_877987_menu" style="position: absolute; display: none" disautofocus="true">
<div class="xs0">
<p><strong>3.PNG</strong> <em class="xg1">(10.05 KB, 下载次数: 0)</em></p>
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<a href="javascript:;" onclick="showWindow(this.id, this.getAttribute('url'), 'get', 0);" id="savephoto_877987" url="home.php?mod=spacecp&ac=album&op=saveforumphoto&aid=877987&handlekey=savephoto_877987">保存到相册</a>

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<div class="tip_horn"></div>
</div>

</ignore_js_op>

在计算机视觉模型推理阶段，尽管我们通常输入的是一张三维图片，但模型的输入通常还需要一个最高维度的批量大小（通常默认为1）。那么，如何对输入进行转换，将其扩展为四维数据呢？以下介绍两种方法，通过增加一个大小为1的维度来实现这一转换。
```python
t = np.arange(36).reshape(3,3,4)
w = t[np.newaxis,:,:,:]
w2 = np.expand_dims(t,axis=0)
print(w.shape)
print(w2.shape)
print(w)
print(w2)
```

<ignore_js_op>

<img id="aimg_877988" style="cursor:pointer;" aid="877988" src="static/image/common/none.gif" zoomfile="data/attachment/forum/202501/06/185426a23mpbbu1mbbqhpu.png" file="data/attachment/forum/202501/06/185426a23mpbbu1mbbqhpu.png" class="zoom" onclick="zoom(this, this.src, 0, 0, 0)" width="379" id="aimg_877988" inpost="1" onmouseover="showMenu({'ctrlid':this.id,'pos':'12'})" />

<div class="tip tip_4 aimg_tip" id="aimg_877988_menu" style="position: absolute; display: none" disautofocus="true">
<div class="xs0">
<p><strong>4.png</strong> <em class="xg1">(23.1 KB, 下载次数: 0)</em></p>
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<a href="javascript:;" class="loginf" >下载附件</a>

<a href="javascript:;" onclick="showWindow(this.id, this.getAttribute('url'), 'get', 0);" id="savephoto_877988" url="home.php?mod=spacecp&ac=album&op=saveforumphoto&aid=877988&handlekey=savephoto_877988">保存到相册</a>

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</div>
<div class="tip_horn"></div>
</div>

</ignore_js_op>

# 代数运算
本节主要设计向量和矩阵的计算，
## 数组运算
标量运算中的加减乘除，以及指数等初等运算都适用于数组运算。当两个运算数组形状相同时，可以简单理解为对应位置上的元素进行运算。
```python
import numpy as np
a = np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
b = np.array([[7,8,9],[10,11,12]])
print(a+b)
print(a-b)
print(a*b)
print(a/b)
```

<ignore_js_op>

<img id="aimg_877989" style="cursor:pointer;" aid="877989" src="static/image/common/none.gif" zoomfile="data/attachment/forum/202501/06/185426uusu1z2jpcz0t5w2.png" file="data/attachment/forum/202501/06/185426uusu1z2jpcz0t5w2.png" class="zoom" onclick="zoom(this, this.src, 0, 0, 0)" width="382" id="aimg_877989" inpost="1" onmouseover="showMenu({'ctrlid':this.id,'pos':'12'})" />

<div class="tip tip_4 aimg_tip" id="aimg_877989_menu" style="position: absolute; display: none" disautofocus="true">
<div class="xs0">
<p><strong>5.png</strong> <em class="xg1">(12.43 KB, 下载次数: 0)</em></p>
<p>
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<a href="javascript:;" onclick="showWindow(this.id, this.getAttribute('url'), 'get', 0);" id="savephoto_877989" url="home.php?mod=spacecp&ac=album&op=saveforumphoto&aid=877989&handlekey=savephoto_877989">保存到相册</a>

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<p class="xg1 y"><span title="2025-1-6 18:54">前天18:54</span> 上传</p>

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<div class="tip_horn"></div>
</div>

</ignore_js_op>

当两个数组形状不匹配时，就会涉及到NumPy的广播机制。举个例子，假设有三个人，第一个人分别拥有1个梨、2个苹果、3个香蕉和4个橘子；第二个人各类水果的数量是第一个人的两倍，第三个人则是第一个人的三倍。我们可以利用NumPy的广播机制，轻松地表示出每个人每种水果的拥有量。
```python
import numpy as np
a = np.array([1,2,3,4])
b = np.array([[1],[2],[3]])
print(a*b)
```

<ignore_js_op>

<img id="aimg_877990" style="cursor:pointer;" aid="877990" src="static/image/common/none.gif" zoomfile="data/attachment/forum/202501/06/185426od15p55kddz0ap0q.png" file="data/attachment/forum/202501/06/185426od15p55kddz0ap0q.png" class="zoom" onclick="zoom(this, this.src, 0, 0, 0)" width="342" id="aimg_877990" inpost="1" onmouseover="showMenu({'ctrlid':this.id,'pos':'12'})" />

<div class="tip tip_4 aimg_tip" id="aimg_877990_menu" style="position: absolute; display: none" disautofocus="true">
<div class="xs0">
<p><strong>6.png</strong> <em class="xg1">(5.91 KB, 下载次数: 0)</em></p>
<p>
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<a href="javascript:;" onclick="showWindow(this.id, this.getAttribute('url'), 'get', 0);" id="savephoto_877990" url="home.php?mod=spacecp&ac=album&op=saveforumphoto&aid=877990&handlekey=savephoto_877990">保存到相册</a>

</p>

<p class="xg1 y"><span title="2025-1-6 18:54">前天18:54</span> 上传</p>

</div>
<div class="tip_horn"></div>
</div>

</ignore_js_op>

其中行为4种水果，列为3个人。
## 向量运算
### 单位向量
将一个向量中的各个元素除以向量的模长，我们就能得到一个方向不变且模值为1的单位向量。
```python
import numpy as np
v = np.array([2,-4,3])
print(v / np.sqrt((v*v).sum()))
print(v / np.sqrt(np.dot(v,v)))
```

<ignore_js_op>

<img id="aimg_877991" style="cursor:pointer;" aid="877991" src="static/image/common/none.gif" zoomfile="data/attachment/forum/202501/06/185426tppsdv2ksv02jp02.png" file="data/attachment/forum/202501/06/185426tppsdv2ksv02jp02.png" class="zoom" onclick="zoom(this, this.src, 0, 0, 0)" width="364" id="aimg_877991" inpost="1" onmouseover="showMenu({'ctrlid':this.id,'pos':'12'})" />

<div class="tip tip_4 aimg_tip" id="aimg_877991_menu" style="position: absolute; display: none" disautofocus="true">
<div class="xs0">
<p><strong>7.png</strong> <em class="xg1">(9.33 KB, 下载次数: 0)</em></p>
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<a href="javascript:;" onclick="showWindow(this.id, this.getAttribute('url'), 'get', 0);" id="savephoto_877991" url="home.php?mod=spacecp&ac=album&op=saveforumphoto&aid=877991&handlekey=savephoto_877991">保存到相册</a>

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<p class="xg1 y"><span title="2025-1-6 18:54">前天18:54</span> 上传</p>

</div>
<div class="tip_horn"></div>
</div>

</ignore_js_op>

我们既可以使用各元素平方求和开根号的方式来求得向量的模长，也可以使用内积的方式来得到。
### 内积
向量内积是最基础的向量运算，其计算方法如下

<ignore_js_op>

<img id="aimg_877992" style="cursor:pointer;" aid="877992" src="static/image/common/none.gif" zoomfile="data/attachment/forum/202501/06/185426ripcjzvnhncvig5i.png" file="data/attachment/forum/202501/06/185426ripcjzvnhncvig5i.png" class="zoom" onclick="zoom(this, this.src, 0, 0, 0)" width="368" id="aimg_877992" inpost="1" onmouseover="showMenu({'ctrlid':this.id,'pos':'12'})" />

<div class="tip tip_4 aimg_tip" id="aimg_877992_menu" style="position: absolute; display: none" disautofocus="true">
<div class="xs0">
<p><strong>8.png</strong> <em class="xg1">(16.52 KB, 下载次数: 0)</em></p>
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<a href="javascript:;" onclick="showWindow(this.id, this.getAttribute('url'), 'get', 0);" id="savephoto_877992" url="home.php?mod=spacecp&ac=album&op=saveforumphoto&aid=877992&handlekey=savephoto_877992">保存到相册</a>

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<p class="xg1 y"><span title="2025-1-6 18:54">前天18:54</span> 上传</p>

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<div class="tip_horn"></div>
</div>

</ignore_js_op>

<ignore_js_op>

<img id="aimg_877993" style="cursor:pointer;" aid="877993" src="static/image/common/none.gif" zoomfile="data/attachment/forum/202501/06/185427xom1xfkk44397ho9.png" file="data/attachment/forum/202501/06/185427xom1xfkk44397ho9.png" class="zoom" onclick="zoom(this, this.src, 0, 0, 0)" width="218" id="aimg_877993" inpost="1" onmouseover="showMenu({'ctrlid':this.id,'pos':'12'})" />

<div class="tip tip_4 aimg_tip" id="aimg_877993_menu" style="position: absolute; display: none" disautofocus="true">
<div class="xs0">
<p><strong>9.png</strong> <em class="xg1">(9.1 KB, 下载次数: 0)</em></p>
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<a href="javascript:;" onclick="showWindow(this.id, this.getAttribute('url'), 'get', 0);" id="savephoto_877993" url="home.php?mod=spacecp&ac=album&op=saveforumphoto&aid=877993&handlekey=savephoto_877993">保存到相册</a>

</p>

<p class="xg1 y"><span title="2025-1-6 18:54">前天18:54</span> 上传</p>

</div>
<div class="tip_horn"></div>
</div>

</ignore_js_op>

向量内积的结果是一个标量。向量内积满足交换律和分配律，但是不满足结合律。且内积为0的两个向量相互正交，它们之间的夹角为90°。
### 外积
与向量内积不同，两个向量的外积得到的是一个矩阵。个人理解，可以用前面的广播机制来理解它。向量的外积不要求两个向量具有相同数量的元素
```python
a = np.array([1,2,3,4])
b = np.array([5,6,7])
print(np.outer(a,b))
```

<ignore_js_op>

<img id="aimg_877994" style="cursor:pointer;" aid="877994" src="static/image/common/none.gif" zoomfile="data/attachment/forum/202501/06/185427mawcyj4pidaayvey.png" file="data/attachment/forum/202501/06/185427mawcyj4pidaayvey.png" class="zoom" onclick="zoom(this, this.src, 0, 0, 0)" width="270" id="aimg_877994" inpost="1" onmouseover="showMenu({'ctrlid':this.id,'pos':'12'})" />

<div class="tip tip_4 aimg_tip" id="aimg_877994_menu" style="position: absolute; display: none" disautofocus="true">
<div class="xs0">
<p><strong>10.png</strong> <em class="xg1">(5.22 KB, 下载次数: 0)</em></p>
<p>
<a href="javascript:;" class="loginf" >下载附件</a>

<a href="javascript:;" onclick="showWindow(this.id, this.getAttribute('url'), 'get', 0);" id="savephoto_877994" url="home.php?mod=spacecp&ac=album&op=saveforumphoto&aid=877994&handlekey=savephoto_877994">保存到相册</a>

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<p class="xg1 y"><span title="2025-1-6 18:54">前天18:54</span> 上传</p>

</div>
<div class="tip_horn"></div>
</div>

</ignore_js_op>

### 叉积
叉积是定义在三维空间中的，两个向量叉积的结果是一个新的向量，这个向量垂直于这两个向量构成的平面。新向量的方向服从右手法则。

<ignore_js_op>

<img id="aimg_877995" style="cursor:pointer;" aid="877995" src="static/image/common/none.gif" zoomfile="data/attachment/forum/202501/06/185427m9exmn83sfm9shjf.png" file="data/attachment/forum/202501/06/185427m9exmn83sfm9shjf.png" class="zoom" onclick="zoom(this, this.src, 0, 0, 0)" width="661" id="aimg_877995" inpost="1" onmouseover="showMenu({'ctrlid':this.id,'pos':'12'})" />

<div class="tip tip_4 aimg_tip" id="aimg_877995_menu" style="position: absolute; display: none" disautofocus="true">
<div class="xs0">
<p><strong>11.png</strong> <em class="xg1">(6.68 KB, 下载次数: 0)</em></p>
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</p>

<p class="xg1 y"><span title="2025-1-6 18:54">前天18:54</span> 上传</p>

</div>
<div class="tip_horn"></div>
</div>

</ignore_js_op>

```python
import numpy as np
a = np.array([1,0,0])
b = np.array([0,1,0])
c = np.array([1,1,0])
print(np.cross(a,b))
print(np.cross(a,c))
```

<ignore_js_op>

<img id="aimg_877996" style="cursor:pointer;" aid="877996" src="static/image/common/none.gif" zoomfile="data/attachment/forum/202501/06/185427bcr7rzpnqruw5neq.png" file="data/attachment/forum/202501/06/185427bcr7rzpnqruw5neq.png" class="zoom" onclick="zoom(this, this.src, 0, 0, 0)" width="249" id="aimg_877996" inpost="1" onmouseover="showMenu({'ctrlid':this.id,'pos':'12'})" />

<div class="tip tip_4 aimg_tip" id="aimg_877996_menu" style="position: absolute; display: none" disautofocus="true">
<div class="xs0">
<p><strong>12.png</strong> <em class="xg1">(4.55 KB, 下载次数: 0)</em></p>
<p>
<a href="javascript:;" class="loginf" >下载附件</a>

<a href="javascript:;" onclick="showWindow(this.id, this.getAttribute('url'), 'get', 0);" id="savephoto_877996" url="home.php?mod=spacecp&ac=album&op=saveforumphoto&aid=877996&handlekey=savephoto_877996">保存到相册</a>

</p>

<p class="xg1 y"><span title="2025-1-6 18:54">前天18:54</span> 上传</p>

</div>
<div class="tip_horn"></div>
</div>

</ignore_js_op>

# 总结
线性代数是深度学习的基础，其数学对象和运算在数据表示和模型计算中无处不在。掌握这些基本概念和操作，将为理解和优化深度学习模型提供有力支持。

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hellokitty_bean

水哥不水！。。。。。。。。。。。。。确实都是代数详情回复发表于昨天 12:20

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沙发

发表于2025-1-7 09:07 只看该作者

机器学习的数据处理基本上都是处理的代数

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所以补充一些线性代数的知识还是很有必要的详情回复发表于昨天 10:47

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一粒金砂（中级）

板凳

楼主| 发表于2025-1-7 10:47 只看该作者

wangerxian 发表于 2025-1-7 09:07 机器学习的数据处理基本上都是处理的代数

所以补充一些线性代数的知识还是很有必要的

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hellokitty_bean

水哥不水！。。。。。。。。。。。。。确实都是代数详情回复发表于昨天 12:20

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五彩晶圆（初级）

4楼

发表于2025-1-7 12:20 只看该作者

waterman 发表于 2025-1-7 10:47 所以补充一些线性代数的知识还是很有必要的

水哥不水！。。。。。。。。。。。。。确实都是代数

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如何解决wince汉字显示不圆润的问题，感觉带刺回答正确可以提高分数，谢谢！！！！！
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