傅里叶变换的再理解

minliu

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            傅里叶变换的再理解

       傅里叶变换，一般认为是将时域信号，转变为频域的信号，或反之，将频域信号转化为时域信号，分别称为傅里叶变换和傅里叶逆变换。简单理解，可以通过傅里叶变换，得到时域信号（人眼可以看到的信号）频率变化特性。

       我们也知道，一个信号的频率，实际上，是指随时间变化快慢的表现。而随时间变化的快慢，可以用求导的方式，即，求微分。

       那傅里叶变换与求导有什么关系吗？

      很明显的例子，以正弦信号为例：

y=sinx,

dy/dx=cosx.

      可以看到，正弦信号的微分信号仍然是余弦信号，与傅里叶变换的两个δ脉冲相差甚远。

     再以一个半圆信号为例，加以说明。

     坐标轴上，半径为1的圆可以用x^2+y^2=1表示。半圆信号，可以用y=sqrt(1-x^2)表示。用GNU Octave软件，将半圆信号及其微分信号求出，如下图一和图二。

图一

图二

或如图三。

图三

      可以看到，微分信号表示了信号随时间变化的快慢，或者说，是信号随时间变化的斜率。在x=-1和x=1两点，斜率分别是+∞和-∞，说明这两点的变化率是最大的。而在x=0的点，变化率为0。

      我们把半圆信号进行傅里叶变换，如图四。

图四

     从图四可以看到，这个波形与微分信号波形完全不同。

     首先，横坐标是以ω（角频率）为单位，而不是以时间为单位；所以，它反映了随频率的分布情况。

     其次，波形的形状完全不同。它反映的是，各种频率分量所占的“量”的大小。

     从这里我们可以看出，傅里叶变换实际上是一种“密度”函数，是原变量在各种频率上的密度分布。

     如果把半圆信号的微分信号，再次进行傅里叶变换，是怎样的呢？

     可以按照傅里叶变换的时域微分特性，进行求解。

     画出半圆信号的微分信号的傅里叶变换，如图五：

图五

总结：

      傅里叶变换可以这样理解：是对时间信号进行了按频率的密度分布求解。可以通过傅里叶变换的十大特性，如线性、时延性等，来描述它的特性。

风尘流沙

厉害了，，大学学得高等数学，忘记差不多了