控制之美（卷2）第二节——卡尔曼滤波的基础补充

Zhao_kar

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控制之美（卷2）第二节——卡尔曼滤波的基础补充

声明：

• 本书的基础理论部分的数学基础——矩阵部分就不展开了，先从测评计划的主体开始
• 本节先是一些基础概念的补充，同时设计到概率论的知识
• 概率论部分就点一下就行了，详细的还是要自己学习

一、卡尔曼滤波器的基本了解

• 首先卡尔曼滤波是一种最优化的、递归的、数字处理的算法
• 双特性：滤波和观测
• 观测可以对系统状态进行估计，而滤波可以对噪声信号进行滤波和去噪声

二、递归算法和数据融合的概念

1、本书使用了一个无人机通过气压计检测高度的实例，但是在理解递归之前，我个人觉得直接对推导过程进行学习更好，这个过程比较容易理解

2、首先是一个小学就会学到的概念：平均值，先假定我们要测定一个数据，需要通过多次测量取平均，此处用Z（k）表示测量后的估计值，其中k表示测量的次数，那么Z（k）就应该=[Z1+Z2+...Z（k）]/k。

（公式如下）

这个是一个平均值的概念，但是这个方法会有两个缺陷：其一是每次运算要做k次加法和一次乘法，乘法还没什么，但是基数非常大的时候，用计算机去加这么多的数可是一个非常麻烦的事情，计算量太大了；其二是需要保存所有的测量数据，那么大基数下也就意味着大量的存储空间。得知缺陷后，下面引入解决方案

3、在前面的等式中，把第k项拿出来，保留到k-1项，拆分成左右两个部分，左边是从1到k-1的和除k，右边是z的k除k。

4、然后在左边的部分中，把加式拿出一个k-1，则原式变成如下。

（公式如下）

5、则加式里面的则为k-1次测量的平均值，那么经过化简，可以得到一个新的代表平均值的一个等式

（3）

6、从这个等式里面可以看出来，只需要两次加法和一次乘法运算，也就是说计算的速度很快（相对比前面要运算k-1个加法运算），同时只需要保留前一次的平均值和当前次数，所以空间也会变小很多。

7、综上，这种方式就是递归算法，具体定义为：通过上次估值得到下一次估值的算法，也就是知道k-1，可以得k。

8、至于数据融合，简单描述+个人理解的语言，就是：假如在基数很大的情况下，也就是k很大的时候，新的测量结果对估计值的影响就不会很大，但是基数很小的时候，若测量结果出现较大误差，那么就会有很大的影响，就比如测身高180cm，然后前一次平均值是178，结果新的结果测出来是170，虽然数学上讲可以通过算法排除这种误差很大的值，但是我们在第五点的等式中，让1/k为一个系数K，定义这个系数为调整系数，而且我们在基数小的时候让他尽量的大，让基数大的时候变小，也就是k变大，K变小。上述即为数据融合。

三、概率论的基础知识

1、期望和方差，说实话，这个部分学校课程都学过了，而且本书没有过多的去究其定义，想知道定义的建议去自行学习，这里放上概率论的一个表述：

 

（写公式太麻烦了直接放图了）

2、然后是正态分布，这个高中课程就学过了，详细的也不解释了，这个百度一下看看图片就知道了。

3、然后是本书的一个实际例子，解释了误差融合，假定我们现在要用无人机测量高度，且无人机上装载了两个仪器，假定A测定50m，B测定52m。

4、若使用平均值，那么就是51m，同时考虑实际上传感器的误差，设定误差e1=Za-Z1，e2=Za-Z2，其中Z1、2为测定数字，Za为实际无人机高度。

5、此时，假设A服从正态分布1，B服从正态分布2，本书有张图比较直观，这里考虑版权不放出来，先不管那么多，只需要知道正态分布A的期望是0，标准差是1，而B的正态分布的期望是0，标准差是0.5，通过实际的图，也就是百分之99.73，即可知道对于A，误差在47-53m，也就是50的上下3m，而对于B，50.5-53.5m，这些是单独分析的结论。

6、然后接下来是融合，首先融合可以写成

7、其中K可取0-1，若A的精度高于B，也就是标准差小于B，那么可以让K=0，此时z'=z1，同理，反过来时，K=1，z'=z2，居中则让K=0.5

8、同时，因为前面提到了A的标准差大于B，也就是K应当大于0.5且接近于Z2.

9、经过推导，这里推导比较复杂，不做描述，主要是确认最优的参数K

10、可以得到K应该是一个趋近于0.8的值，且此时误差最小，也就是最优估计值，带入可得Z=51.6，标准差为0.45，同时标准差相对之前也变小了。

11、上述就是本书给出的一个两个数据融合的例子，结合新的正态分布曲线，是可以看出来直观的表现的

Jacktang

关于卡尔曼滤波学习了

Henry_Qian

学习了