无人机常用算法——卡尔曼滤波器（十一）

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4.3 雅可比矩阵

雅可比（Jacobi）矩阵在各种场合应用很多。雅可比就是输出量与输入量的微分比，表明了输入量的变化（微分）对输出量变化的影响。

对于单变量函数 y = f (x) ，雅可比 J (x) = dy dx ，即 dy = J (x)dx ，所以雅可比实际上也就是输出量对输入量的一阶导数。

对于输入量和输出量都是向量的函数关系，雅可比就变成了矩阵，称为雅可比矩阵，同样表示的是输出量与输入量之间的微分关系。

则 y 对 x 的雅可比矩阵为：

在机器人系统中，操作臂的运动方程 x = f (q) 代表操作空间 x 与关节空间 q 之间的位移关系。将式子两边对时间求导，即得出 q 与 x 的微分关系。

代表操作空间与关节空间的速度关系。J (q)称为速度雅可比矩阵。

可以看出雅可比矩阵实际上就是输出量对输入量的一阶导数，所以可以直接针对一个函数关系写出相应的雅可比矩阵。

对于直角坐标与极坐标的变换关系

可以简写成 z = f (q)，其中

那么直接写出 z 对 q 的雅可比矩阵：

z 和q 之间是非线性关系，如果该方程应用于卡尔曼滤波，需要对方程进行线性化，利用泰勒一阶展开进行线性化。假设对值

线性化。