格物致知04——有限角位移不是矢量

maychang

格物致知04——有限角位移不是矢量 [复制链接]

 

　　在现代，无论是哪个版本的普通物理学，都会讲到刚体的定轴转动，并用“角位移”来描述刚体定轴转动时所转过的角度。图(01)是从江守洙等《普通物理学》第一册176页截取的一段，里面明确提到对定轴转动的刚体内任意点角位移都是相同的。这段还明确提到对定轴转动的刚体内任意点不仅角位移相同，角速度和角加速度也都相同。
　　力学中说到“旋转的物体”，通常是指刚体。如果是像果冻那样的弹性体，因为弹性体可以变形，弹性体内各点转动的角度不一样，就谈不到转动的角度。

          图(01)  程守洙等《普通物理学》第五版第一册176页
　　但是，该书177页明确地说“角速度”是个矢量，却没有说“角位移”是矢量，见图(02)。

          图(02)  程守洙等《普通物理学》第五版第一册177页
　　问题可就来了：标题中说有限角位移不是矢量，书上说角速度是矢量。角速度是角位移对时间的一阶导数。一个不是矢量的量，怎么能够对时间求导之后就成了矢量了？
　　我们先说说有限角位移不是矢量。
　　位移是矢量，这毫无疑问。位移这个矢量满足交换律。图(03)中，平面上一个点从O处先向右移动4米到达A处，再从A处直角左转移动3米到达B处。另一次移动中则从O处先向上移动3米到达C处，再从C处直角右转移动4米到达D处。从欧几里德几何学的知识，我们相信B点和D点是同一点。交换顺序而结果相同，显然，在这个问题里面，位移矢量满足交换律。

          图(03)
　　矢量必须满足交换律，不满足交换律的就不能称为矢量。
　　但是，刚体的转动就不满足交换律，见图(04)和图(05)。

         图(04)
　　图(04)是一个长方体，先绕Y轴旋转90°，再绕Z轴旋转90°。

          图(05)
　　图(05)则是同一个长方体，先绕Z轴旋转90°，再绕Y轴旋转90°。
　　两次旋转，交换顺序，结果不同，可见物体的转动(角位移)不满足交换律。既然不满足交换律，物体的转动(角位移)不是矢量。
　　既然角位移不是矢量，那么图(02)中为什么又说角速度是矢量呢？角速度是角位移对时间的导数，一个不是矢量的量，求导后怎么能够成为矢量？
　　角位移不是矢量，是指有限角位移，例如图(04)和图(05)里面物体转动都是90°，是有限角位移。但是，无穷小角位移却是矢量。

         图(06)
　　为了说明有限角位移不是矢量，无穷小角位移是矢量，我们先建立一个球面座标系，如图(06)。也为了说明方便，我们把这个球面座标系看成地球，并采用地理上的说法。一个点在球面上的运动，可以看成这个固定座标系下一个刚体球绕球心的转动。

         图(07)
　　令φ和 ψ表示互相垂直的两个角位移。我们先让φ和 ψ大一些，表示转动90°。
　　第一次，从0°经线(本初子午线)和0°纬线(赤道)相交处开始，一个点先沿赤道向东运动，对球心的角位移φ为90°，到达东经90°处的A点。再直角向左，对球心的角位移ψ为90°，最后到达北极处，终点为B点。如图(07)。

         图(08)
　　第二次，仍从0°经线(本初子午线)和0°纬线(赤道)相交处开始，一个点先沿本初子午线向北运动，对球心的角位移ψ为90°，到达北极处的C点。再直角向右，沿东经90°线，对球心的角位移φ为90°，最后到达东经90°线与赤道交点D。如图(08)。
　　互相交换顺序的两次转动结果，B点和D点，一个在赤道，一个在北极，相距很远。所以，对球心90°的角位移不满足交换律，肯定不是矢量。

          图(09)
　　我们再来看看比较小的对球心的角位移。
　　仍然是从0°经线和0°纬线相交处开始，令φ为对球心20°的角位移，ψ为对球心15°的角位移。
　　第一次，先φ后ψ，运动点先沿赤道向东，对球心角位移20°到达A点，然后直角向左，对球心角位移15°到达B点。显然，B点就是北纬15°线与东经20°线的交点。如图(09)。

         图(10)
　　第二次，先ψ后φ，运动点先沿0°经线向北，对球心角位移15°到达C点，然后直角向右，对球心角位移20°到达D点。如图(10)。
　　注意，和第一次不一样，运动点达C点后直角向右，并不是沿北纬15°线移动，其移动的轨迹是在一个大圆上，该大圆过东经90°线和西经90°线与赤道的交点，并在0°经线上与北纬15°线相切，在180°经线上与南纬15°线相切，如图(10)中绿色虚线所示。
　　既然运动点是沿这个大圆移动，可以推断D点一定在北纬15°线之南。既然北纬15°线总长度比赤道短，可以推断D点一定在东经20°线以东。也就是说，D点在B点东南。D点和B点并不重合。角位移φ和ψ小了，但还不满足交换律，不是矢量。
　　但是我们看到，相比图(07)和图(08)中B点和D点一个在北极一个在赤道的90°角距离，图(10)中B点和D点之间的角距离可是小得太多了。
　　我们不妨想像一下：φ和ψ从90°减小到15°和20°，B点和D点之间的角距离就减小了这么多。那要是φ和ψ减小到2°和3°，或是减小到0.2°和0.3°，又会如何？显然，直观地看，φ和ψ越小，B点和D点之间的角距离就越小，而且比φ和ψ减小得更快。φ和ψ越小，两个角位移交换顺序所包围的那一小块球面(并不是封闭的)越接近于一个平面。
　　利用球面三角知识，图(12)中B点和D点之间对球心的角距离θ是可以根据φ和ψ计算出来的。换句话说，我们可以根据球面三角知识写出θ随φ和ψ变化的函数。
　　我们已经看到，θ是随φ和ψ的减小而急剧减小。利用球面三角知识写出θ随φ和ψ变化的函数后，可以证明：当φ和ψ趋于0时θ也趋于0，而且θ比φ和ψ更快地趋于0，换句话说，θ是φ和ψ的高阶无穷小。
　　既然φ和ψ交换顺序的差别结果θ在φ和ψ趋于0时是个高阶无穷小，那么我们就可以说：φ和ψ趋于0时满足交换律。
　　根据同样的推导过程，我们还可以推导出：有限角位移不满足结合律，但无穷小角位移满足结合律。
　　所以，有限角位移不是矢量，因为有限角位移不满足交换律。但无穷小角位移是矢量，因为无穷小角位移满足交换律和结合律。
　　既然无穷小角位移是矢量，那么角速度是矢量就是自然而然的了，因为角速度正是角位移对时间的一阶导数。
　　普通物理课程通常不会讲到有限角位移不是矢量，因为普通物理只讲刚体的定轴运动，不会讲到刚体的定点运动。而刚体的定轴运动，角速度矢量实际上只会沿转动轴，只有正反两个方向，因为定轴运动的转动轴方向是不变的。而刚体的定点运动则瞬时转动轴方向可能随时变化。这种瞬时转动轴方向随时变化的情况，就必须说明有限角位移不是矢量，无穷小角位移才遵循交换律和结合律，是矢量。


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freebsder

不太明白物理里面矢量的具体定义，应该可以对应到向量vector吧，印象里矢量和向量也是一个东西两个名字。如果不是，以下纯属扯淡。
是否是向量/矢量，应该看这些所有的对象组成的对象是否构成向量空间。
向量空间的定义并没有对乘法的交换律，只有对加法的交换律。图三是向量加法，图四图五的旋转是向量乘法，向量空间本身只需要满足图三所示加法交换即可。大家熟悉的（线性空间中的）矩阵即不满足乘法交换。


所有对象组成的空间只要符合以上定义的，就是向量空间，自然里面的对象就是向量了。

maychang

freebsder 发表于 2019-2-23 15:09
不太明白物理里面矢量的具体定义，应该可以对应到向量vector吧，印象里矢量和向量也是一个东西两个名字。如 ...

“图三是向量加法，图四图五的旋转是向量乘法”

矢量加法必须满足交换律，否则就不是矢量。
矢量的乘法，有点乘和叉乘(亦称内积和外积，标量积和矢量积，等等)。点乘满足交换律，叉乘不满足交换率。

freebsder

maychang 发表于 2019-2-23 15:29
“图三是向量加法，图四图五的旋转是向量乘法”

矢量加法必须满足交换律，否则就不是矢量。
矢量的乘 ...

那么矢量和向量是一个东西了。。。
我习惯称向量。向量空间上只定义了构成向量的数域和向量的乘积这一个“乘法”，也就是定义中的 VS 0，向量和向量的“乘法”本身并没有定义，所以不构成是否是向量空间的条件，也就是不构成是否是向量的条件。

VS -1 对象和对象的加法封闭
VS 0  数域和对象的乘法
VS 1 是两个对象的加法交换
VS 2 是对象之间的加法结合
VS 3 定义零元
VS 4 零元的逆元
VS 5 定义幺元
VS 6 定义与数域ab和对象x之间的乘法结合律，这个乘法是VS 0 的乘法
VS 7 数域a与VS -1定义的加法之间的分配率
VS 8 数域a，b与对象x之间的分配律

是否是向量/矢量空间，本身并没有对象和对象之间的乘法这一要求。而，点积也好，叉积也好，都是针对空间里的对象的一种运算，具体怎么定义和此空间无关。如果把向量空间中的点积，叉积都看做一种运算，他们和实数空间中的平方，开根号等运算是可以类比的：两个空间中的基本运算只有对象+对象，数域*对象，（实数域还有乘法逆）其他运算都不构成定义的条件。

freebsder

当然，有限角位移到底是不是向量，我不知道。我只是看may爷推算证明是不是向量的维度值得商讨。

maychang

freebsder 发表于 2019-2-23 16:20
当然，有限角位移到底是不是向量，我不知道。我只是看may爷推算证明是不是向量的维度值得商讨。

图为向量空间公理化定义。
第二条即加法交换律。

maychang

freebsder 发表于 2019-2-23 16:20
当然，有限角位移到底是不是向量，我不知道。我只是看may爷推算证明是不是向量的维度值得商讨。

上面的第一条和第二条，对应于2楼图中VS 2和VS 1。

maychang

freebsder 发表于 2019-2-23 16:20
当然，有限角位移到底是不是向量，我不知道。我只是看may爷推算证明是不是向量的维度值得商讨。

“有限角位移到底是不是向量”
截图自  周衍柏《理论力学教程》第三版118页，“有限转动和无限小转动”。



补上前一图中提到的图3.2.1和图3.2.2。

freebsder

maychang 发表于 2019-2-23 17:39
“有限角位移到底是不是向量”
截图自  周衍柏《理论力学教程》第三版118页，“有限转动和无限小转动” ...

may爷，二楼的地方说过的，在一楼的帖子中，图三表达的是位移，可以认为是向量加， 图四图五表达的是旋转，可以认为是向量乘。一楼的帖子和四楼的帖子周衍柏《理论力学教程》中都是用旋转（乘法）来证明不可交换所以不是向量，而向量空间（向量）本身的定义中并没有乘是否可交换。
另外，周衍柏《理论力学教程》 中首先给了一个加法可交换，说不遵守这个就不是向量，但是下面的证明和实例却用旋转（乘）的不可交换来说明 不可交换这四个字，而不管是加是乘。。。有限转动是不是矢量我不知道，但是这样的证明或者说明绝对是关公战秦琼。

简单说吧，交换律分加法交换和（对象）乘法交换，以上证明通篇是证明乘法不可交换，然而（对象）乘法本身就不是向量的定义内容，更何况可不可交换呢。

maychang

freebsder 发表于 2019-2-23 20:21
may爷，二楼的地方说过的，在一楼的帖子中，图三表达的是位移，可以认为是向量加， 图四图五表达的是旋转 ...

矢量乘法后，就不是原来那类物理量了。例如：力和位矢点乘，结果是个标量。力和位矢叉乘，结果是力矩(既不是力，也不是位置)。所以矢量乘法的结果，不在这个集合V内，不满足2楼封闭性要求。

freebsder

（对象）乘法也就是向量乘法，区别于数域和向量的标量乘法。如6楼的定义中，并没有向量乘法的内容。1-4是向量加法的条目，5-8是标量乘法的条目，然而定义中并没有向量乘法的条目。
如同向量加法和向量乘法（位移和旋转），标量乘法可以看作向量的缩放和换向，是空间的三种不同的基本形态变换。

maychang

freebsder 发表于 2019-2-23 20:21
may爷，二楼的地方说过的，在一楼的帖子中，图三表达的是位移，可以认为是向量加， 图四图五表达的是旋转 ...

“图四图五表达的是旋转，可以认为是向量乘”
这个不能同意，旋转仍是加法，原因见前一回复。

freebsder

maychang 发表于 2019-2-23 20:39
矢量乘法后，就不是原来那类物理量了。例如：力和位矢点乘，结果是个标量。力和位矢叉乘，结果是力矩(既 ...

计算的结果在不在空间内（也就是所谓封闭性），不是其他计算该考虑的问题。
封闭，只在定义中要求向量加向量封闭，数域和向量乘封闭，只需满足这两个封闭即可。
至于对象上的所有其他操作/运算，并不能作为否定向量的因素。比如2*3 的矩阵 乘以 3*2 的矩阵，维度都变了，变成2*2 的，但是并不妨碍 2*3 和 3*2 本身作为其各自维度的空间中的向量（组成），所以不能用这个乘法不满足各自维度（2*3 和 3*2）的封闭性而否认2*3 和 3*2 空间本身。

freebsder

maychang 发表于 2019-2-23 20:42
“图四图五表达的是旋转，可以认为是向量乘”
这个不能同意，旋转仍是加法，原因见前一回复。

旋转不是加法这不是你同不同意的问题。
加法就是你引用的理论力学教程中说的平行四边形加法，乘法你前面也说了叉积，其中的 θ 就是旋转。你无法用一种运算导出另一种运算。所以位移，旋转和缩放，就是三个基本操作了。

maychang

freebsder 发表于 2019-2-23 20:40
（对象）乘法也就是向量乘法，区别于数域和向量的标量乘法。如6楼的定义中，并没有向量乘法的内容。1-4是向 ...

11楼所说“标量乘法”(6楼和2楼均有提及)，物理上称为“数乘”，即矢量乘以一个纯数，也即11楼你所说“可以看作向量的缩放和换向”。

maychang

freebsder 发表于 2019-2-23 20:54
旋转不是加法这不是你同不同意的问题。
加法就是你引用的理论力学教程中说的平行四边形加法，乘法你前面 ...

我要下线了，明天继续吧。明天把角位移加法的图贴出来。
谢谢你和我聊了这么长时间。

freebsder

maychang 发表于 2019-2-23 21:01
我要下线了，明天继续吧。明天把角位移加法的图贴出来。
谢谢你和我聊了这么长时间。

may爷，向你学习，你是我的榜样！

freebsder

maychang 发表于 2019-2-23 20:59
11楼所说“标量乘法”(6楼和2楼均有提及)，物理上称为“数乘”，即矢量乘以一个纯数，也即11楼你所说“可 ...

>>>即矢量乘以一个纯数，也即11楼你所说“可以看作向量的缩放和换向”。
是的，这个纯数就是 6楼定义中的F，也就是第二条“标量定义”中a的取值范围。这边称F为域，数域，常见的整数域，实数域，复数域，由这些数域上的元素和它的有序集构成集合V，也就是下面的向量（空间，如果满足以下定义条件的话）。

cruelfox

freebsder 发表于 2019-2-23 20:21
may爷，二楼的地方说过的，在一楼的帖子中，图三表达的是位移，可以认为是向量加， 图四图五表达的是旋转 ...

这里没有“向量相乘”的运算。图四图五也不是相乘，而是相加。
按前面定义，这里说的向量（如果它的确是的话）已经不是三维欧氏空间中的位移了，而是对转动“量”的一个描述。加法就是两个转动的接续，也只有这么一个向量之间的运算。
因为不能满足加法交换律，也不符合向量空间的定义。

zhuyebb

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