DSP算法定点算数运算有关数的定标

Jacktang

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数的定标
    在定点DSP芯片中，采用定点数进行数值运算，其操作数一般采用整型数来表示。一个整型数的最大表示范围取决于DSP芯片所给定的字长，一般为16位或24位。显然，字长越长，所能表示的数的范围越大，精度也越高。如无特别说明，本书均以16位字长为例。
DSP芯片的数以2的补码形式表示。每个16位数用一个符号位来表示数的正负，0表示数值为正，l则表示数值为负。其余15位表示数值的大小。因此，
      二进制数0010000000000011b=8195
      二进制数1111111111111100b= -4
    对DSP芯片而言，参与数值运算的数就是16位的整型数。但在许多情况下，数学运算过程中的数不一定都是整数。那么，DSP芯片是如何处理小数的呢？应该说，DSP芯片本身无能为力。那么是不是说DSP芯片就不能处理各种小数呢？当然不是。这其中的关键就是由程序员来确定一个数的小数点处于16位中的哪一位。这就是数的定标。
通过设定小数点在16位数中的不同位置，就可以表示不同大小和不同精度的小数了。数的定标有Q表示法和S表示法两种。表1.1列出了一个16位数的16种Q表示、S表示及它们所能表示的十进制数值范围。
    从表1.1可以看出，同样一个16位数，若小数点设定的位置不同，它所表示的数也就不同。例如，
         16进制数2000H=8192，用Q0表示
         16进制数2000H=0.25，用Q15表示
但对于DSP芯片来说，处理方法是完全相同的。
    从表1.1还可以看出，不同的Q所表示的数不仅范围不同，而且精度也不相同。Q越大，数值范围越小，但精度越高；相反，Q越小，数值范围越大，但精度就越低。例如，Q0 的数值范围是一32768到+32767，其精度为1，而Q15的数值范围为-1到0.9999695，精度为1/32768=0.00003051。因此，对定点数而言，数值范围与精度是一对矛盾，一个变量要想能够表示比较大的数值范围，必须以牺牲精度为代价；而想精度提高，则数的表示范围就相应地减小。在实际的定点算法中，为了达到最佳的性能，必须充分考虑到这一点.


浮点数与定点数的转换关系可表示为：
        浮点数(x)转换为定点数(xq)：xq=(int)x* 2Q
        定点数(xq)转换为浮点数(x)：x=(float)xq*2-Q


    例如，浮点数x=0.5，定标Q=15，则定点数xq=L0.5*32768J=16384，式中LJ表示下取整。反之，一个用Q=15表示的定点数16384，其浮点数为163幼*2-15=16384/32768=0.5。浮点数转换为定点数时，为了降低截尾误差，在取整前可以先加上0.5。




表1.1    Q表示、S表示及数值范围
Q表示    S表示    十进制数表示范围
Q15    S0.15    -1≤x≤0.9999695
Q14    S1.14    -2≤x≤1.9999390
Q13    S2.13    -4≤x≤3.9998779
Q12    S3.12    -8≤x≤7.9997559
Q11    S4.11    -16≤x≤15.9995117
Q10    S5.10    -32≤x≤31.9990234
Q9    S6.9    -64≤x≤63.9980469
Q8    S7.8    -128≤x≤127.9960938
Q7    S8.7    -256≤x≤255.9921875
Q6    S9.6    -512≤x≤511.9804375
Q5    S10.5    -1024≤x≤1023.96875
Q4    S11.4    -2048≤x≤2047.9375
Q3    S12.3    -4096≤x≤4095.875
Q2    S13.2    -8192≤x≤8191.75
Q1    S14.1    -16384≤x≤16383.5
Q0    S15.0    -32768≤x≤32767