有效数字及运算规则

一世轮回

有效数字及运算规则 [复制链接]

   通过测量取得的数据常需要进行整理、分析、计算才能得到测量结果。为了合理表达测量结果，必须正确地运用数字表达量值及合理地处理运算中的数字。
   一、有效数字

   由于测量仪器的分辨能力有限，测量误差不可避免，以及在运算过程中应用无理数（ｅ，π、
等）时不可能取无穷位，因此通常得到的测量数据与测量结果都是近似数。为了使数据的表示确切与统一，一般规定截取得到的近似数绝对误差的绝对值不得超过其末位单位数字的一半，并称此近似数从第一个不是零的数字起到最末一位数字止的所有数字为有效数字。表2.1表示了几个数据的有效数字情况。

   应注意数字右边的零不能随意增减，因为这与测量的准确程度有关。不能将37.100任意
改写成37.1000，也不能任意改写成37.10，因为不符合有效数字位数与误差大小相适应的原则，37.1000的绝对误差绝对值小于0.00005；37.10的绝对误差绝对值小于（0.005）。

   对有些数字位数较多但有效数字位数较少的数据，需要采用有效数字乘上10的乘幂的形式表示。例如，数据43200，若误差绝对值在50以内（即误差不超过百位的一半），则有效数字应为三位（4，3，2）。在这种情况下，个位和十位数上的零不是有效数字，但为了表示该数据的位数又不能随意去掉，应采用432×102，1.32×103 或1.32×104 等形式表示。

   一般为了清楚无误地表示测量数字的有效位数，常采用的表达形式为

  ｋ×10ｍ

   

式中 ｋ- 从1起至小于10的任意数字；
        ｍ - 具有任意符号的任意整数。
  在这种表示形式中，ｋ的位数为有效位数。所以，上述数据43200，一般用4.320x104表示为宜。
   二、数字修约规则
   当由于计算或其他原因需要减少数据的数字位时，应按数字修约规则修约。数字修约规则规定，以所要保留数字的末位单位为单位，衡量拟舍去数字的数值情况：
（１）拟舍去数字的数值大于0.5单位者，所要保留数字的末位加1；
（２）拟舍去数字的数值小于0.5单位者，所要保留数字的末位不变；
（３）拟舍去数字的数值恰好等于0.5单位者，则使所要保留数字的末位凑成偶数（即当所要保留数字末位为偶数时末位不变，若为奇数时则加1）。
   例２．３ 将下列７个数据修约为４位有效数字：5.142 69,6.378 501,2.717 29,7.691 499,4.510 500,3.216 50.8.343 5。
  解  用箭头标示修约后的结果，如下所示：

   需要注意的是，进行修约时只能进行一次性修约，不能逐次进行修约。例如，将２．５４５４６
修约为２位有效数字时，错误的做法为

   ２．５４５４６→２．５４５５→２．５４６→２．５５→２．６

  正确的做法为

   ２．５４５４６→２．５

    此外，附加说明一点，数字修约规则是根据宏观上舍和入的概率均等，在修约的次数足够多时，舍入误差可互相抵消而规定的。按修约规则，以所要保留的数字末位单位为单位，舍去部分会引起舍入误差的数值在开区间（０，１）范围内，在此范围内以０．５为中心，两侧各对应点宏观上出现的概率相等而所引起的舍入误差大小相等、符号相反。例如：０．０１与０．９９出现的概率相等而引起的舍入误差分别是 －０．０１与 ＋０．０１；０．２３４与０．７６６出现的概率相等而引起的舍入误差分别是 －０．２３４与 ＋０．２３４。所以从宏观看，在舍入次数足够多时所引起的误差可以互相抵消。剩下的问题是，舍去部分恰好为５时应该如何处理。只入不舍或只舍不入都不能抵消
所引起的舍入误差。宏观看，拟保留之有效数字的末位为奇或偶的概率是相同的，规定一种情况舍，另一种情况入，则当舍入次数是足够多时舍入误差也会抵消。规定拟保留之有效数字末位为奇数时加１可使有效数字的尾数为偶数的机会增大，而偶数在作被除数时，被除尽机会可多一些，有利于减少计算上的误差。

   三、有效安全数字

   在实际应用中，测量数据只取有效数字而把其余数字处理掉的方法也可能把一些可供参考的信息处理掉了。特别是测量结果被当做中间结果还要进行大量运算时，舍入误差可能迅速积累。所以，除有效数字外可向右多取１～２位数作为安全数字，这样所表示的数据称为有效安全数字。
   对测量数据处理的具体做法是：先由误差（一般用１～２位有效数字表示）确定有效数字最低位位置；再从有效数字最低位向右多取１～２位安全数字；最后按数字修约规则处理掉其余的数字。

   例２．４ 测量某电压所得原始数据为１．８３５４９±０．０１４Ｖ，试确定有效安全数字。

   解 由误差确定有效数字最低位位置，即

  １．８３５４９
０．０１４

     可见有效数字最低位为分位（数字８处）；有效数字为２位（１，８）。
     向右多取２位安全数字，即取十分位与百分位（数字３，５）。按修约规则处理掉其余的数字，
得到有效安全数为１．８３５。

    四、有效数字运算规则

    １．加减运算
   当参与加减运算的数不超过１０个时：
（１）以小数点后位数最少的数为基准数，将其余各数修约到比基准数多保留１位小数；
（２）进行加减运算；
（３）对结果进行修约，使小数点后的位数与基准数相同；
（４）仅两数加（或减）时，可修约到小数点后位数相同。

   例２．５ １３．６５＋０．００８２３＋１．６３３＝？

   解 （１）１３．６５小数点后位数最少（２位），取作基准数，并按基准数修约其余两数：
        ０．００８２３→０．００８（比基准数多保留１位小数）
       １．６３３→１．６３３（比基准数多保留１位小数）
     （２）运算：
      １３．６５＋０．００８＋１．６３３＝１５．２９１
    （３）按基准数小数点后位数修约计算结果：
       １５．２９１→１５．２９

   ２．乘除运算
（１）以有效数位数最少的数为基准数，将其他各数修约到比基准数多１位有效数（与小数
点位置无关）；
（２）进行乘除运算；
（３）对计算结果进行修约，使有效数位数与基准数相同；
（４）基准数第１位有效数字为“８”或“９”时计算结果有效位可比基准数多取１位。

   例２．７ ０．０１２１×２５．６４×１．０５７８２＝？
   解 （１）基准数０．０１２１为３位有效数，修约其他两数：
   ２５．６４→２５．６４（比基准数多１位有效数）
   １．０５７８２→１．０５８（比基准数多１位有效数）
  （２）进行乘除运算：
   ０．０１２１×２５．６４×１．０５８＝０．３２８２
（３）将计算结果按基准数有效位数修约：
    ０．３２８２→０．３２８

   ３．乘方与开方
   乘方与开方所得结果的有效数字位数与原来有效数字位数相同或多保留１位有效数。
   ４．对数运算
   所取对数应与真数有效数字位数相同。例如，取ｌｇ３２．８＝１．５２。查表时应按相同位数查取。

   ５．三角函数

   所用函数值的位数通常随角度误差的减少而增多。对应关系如表２．２所示

    ６．多步运算
   中间步骤的计算结果应保留的位数比一步运算（只须进行一种加、减、乘或除、开方或乘方
的运算）规定保留的位数多1位。

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