漫谈电路、信号处理中的“虚部”

cruelfox

漫谈电路、信号处理中的“虚部” [复制链接]

 

为什么电容、电感的阻抗表达式要用虚数？
为什么在傅立叶变换中要有虚数？
为什么在滤波器的传递函数中会出现虚数？
最初遇到“虚数”的概念是在高中数学中，我大概将它看成一维（实数）到二维的扩展。书上也就是画成两个坐标轴来表示复数嘛。那么，为什么只有一个虚数单位i, 没有再定义一个更高级的复数来描述三维空间呢？从来没想过。

大学学了高等代数，补充了复数域，多项式这些知识后大概知道为什么要发明出复数来补充实数的不足了。至于维数的扩展，也不是复数的用途。再后来，学了傅立叶变换之后，我对为什么要用复数来表示信号仍然没有理解。数学上这没有问题，数学是对世界的一种描述，是抽象出来的，又如直线、空间等等概念也是抽象出来的。但现实世界里面的物理量，电流电压都是实际存在的，哪来的虚部呢（别扯到量子物理，不在电子工程讨论范围）？ 更后来修《小波分析》课的时候，有个同学在课间问了这个问题，老师说的是“采两个信号”的意思。可是，毕竟复信号和二维信号不是一个处理方法呀。

自学了些电路基础，我才发现在电路里面用虚数是提供了很大的方便。如果不用虚数，就没法对电容、电感使用欧姆定律了。

借用了虚数，将电感、电容中的电抗成分（就是和纯电阻不一样的那个交流特性）计成欧姆单位


然后，欧姆定律、戴维南定理等等都可以照样用了，甚是方便，只不过把电压、电流也要换成复数了。

什么，电压能有个虚部？示波器能看到这个虚部吗？
反过来看，若不引入虚数的话，怎么处理电路中的电感和电容呢？那必然是要使用微分方程、积分方程来表达电压和电流的关系。的确不方便啊，求解稳态电路这样就费太多工夫了。借助拉普拉斯变换工具，看输入和输出关系的话，就又出来虚数了。

交流电是随时间变化的，若用正弦函数来表达，u=Asin(ωt+θ) 就包含了幅度、频率和相位三个量。电容和电感会改变交流电的相位，因此在分析频率特性的时候，仅用幅度描述是不够的。虚数因为可以表示为幅值和相角的形式，刚好可以刻画交流电输入和输出的关系。

说到底，这还是一个数学工具在解释世界。正弦波就正弦波嘛，一定要虚数么？Euler公式

看起来很漂亮，但是对交流信号，那个凭空整出来的虚部又是什么意思？电场能是实部，磁场能是虚部？不对。

毕业数年以后，我对这个疑问的解释是如下这样：

世界有两种最基本的运动形式：一种是匀速直线运动，一种是匀速圆周运动（转动）。转动就有了半径、周期。如果认为匀速直线运动是一种恒定状态，那么匀速转动也属于恒定的——周而复始，你只要知道了它的无限短的一段时间的运动，就能知道它的过去和未来。
也就是说，一个单一频率的信号是可以用一个恒定转速的圆周运动来代表的。

在平面上看这个圆周运动，它的轨迹是一个圆。

如果增加一个时间维度，想象一下，看起来是什么样子？

一圈一圈的螺线，对了吧，沿着时间轴方向的。
再侧过来一些看，更清楚一点：

再换个角度：

当垂直于时间轴去“看”这个圆周运动的时候，看到什么呢？

正弦型啊！ 换个角度也可以看到是这样的：

注意，正弦函数的相位发生了变化。

当我们观察到一个正弦形的信号（电压、电流，也可以是其它的物理量），所观察到的认为是它的实部。假设（用脑补一下）这个信号其实是一个在转动的信号，它还有一个对应的虚部看不见。 正弦信号经过一个线性系统（黑盒子）出来之后，除了转动半径（幅度）可能发生改变外，转角也会发生偏移，于是被我们观察到的波形也产生了相位差。随着我们观察角度的不同，初始相位也可以不同，但是输入和输出的相位差是稳定的。

总结：能够被观察到的信号是实的，然而在补充了一个不存在的虚部之后，信号从来回振荡的形式变成了更简单更基本的圆周运动。复杂的信号也可以分解为很多乃至无穷多个圆周运动的叠加，我们总是从某个固定的角度去观察的。在描述两个同频的圆周运动的相对关系（比如输入和输出）时，使用虚数可以更方便地表达幅度和相角的差异。

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lcofjp

这图很形象，是用什么做出来的？

qwqwqw2088

lcofjp 发表于 2017-10-25 08:11
这图很形象，是用什么做出来的？

有可能是用Mathcad搞的

bobde163

我之前也是想不通这个问题，也查找了很多资料，最终也是不清不楚的，楼主的看法，我也是看不明白，我在网上找到一篇文章，能看懂一些，楼主也看看怎么样：
http://www.docin.com/p-1270540353.html

freebsder

乱说一点吧，以下仅为我的个人观点，不代表正确也不代表错误，或许我以下口中有错误，代表，表示等，仍然不代表正确也不代表错误。

谈论的其实只有复数（域），复数和实数一样，是一个数，注意这里一个的意义，它是不可分割的。
形如12.34这样的实数，我们可以分小数点前，小数点后来讨论来分析，但是裂开小数点来分别讨论12和34代表什么，这就不是实数了，同理1+i这样的复数，可以分实部和虚部来讨论分析，但是裂开来单独追求实和虚的意义就已经跑远了。
可为什么我们经常会看到很多地方说实部代表什么，虚部代表什么？
这其实混淆了复数域和RxR矩阵。C和RR在代数上是同构，RR就是一个有二个基的矩阵。
矩阵的线性表达式 z = 1x + 2y, 用矩阵表示 // 还是算了，这个帖子编辑器根本无法表达，请脑补。
x和y作为一组基，形式上表示为实数和 i 虚数，变成 z=1+2i，看起来他就是复数了。
现在由复数域经由同构映射到RR二维矩阵代数，从一个数的代数域映射到一个另一个矢量的代数域，这里，我们可以说第一个维度代表人口，第二个维度代表收入，等等，他是线性组合，注意这里是组合。
到了矩阵里面，我们自然的可以联想到线性代数里面所有的行为，其中最主要的：平移和旋转。// 帖子编辑器无法表达，可以百度旋转矩阵，平移矩阵
有了平移和旋转，就引入动作了，我们从静态的实数一跃而入动态的复数（复数和RR同构）。
电场磁场是动态的，自然在这个结构里面构建是最合适的。

所以也回答了题主的问题：
1、不是要用虚数表达，而是这种动态的性质本来就只能用动态的结构描述，就如同非线性情况下只能用积分（或者分段积分）来表达。
2、虚数部分不代表什么，复数切开之后单独一部分没有意义，只有映射到RR空间才可能追求每个基所谓的意义。
3、旋转，平移是矩阵本身的运算，所以，也大可不必单独追求第一个维度代表什么，第二个维度代表什么，就如同ej代表旋转90°，它其实就不代表什么，它就是运算上的转90°。
4、对于我们来说，现实中只能处理实数，那么解决办法是：要么想办法在计算的最后把虚数部分抵消掉，比如负频率；要么用两个图或者更多图来展示，比如相位图+频率图（虽然分成两个刻画，但是他们和复数一样，是不可分割的一个东西，可以分开讨论分析，但是无法发分开存在）。


大概这些吧，想到哪儿说到哪儿。

cruelfox

freebsder 发表于 2017-10-25 10:18
乱说一点吧，以下仅为我的个人观点，不代表正确也不代表错误，或许我以下口中有错误，代表，表示等，仍然不 ...

是的，对复数表示的增益，是不能分开成实部表示什么意义，虚部表示什么意义。但拆成模和辐角，可以有各自的意义。
复数表示的阻抗，分成实部和虚部看也是有意义的（阻性和电抗性）。
我这个帖子主要是想说我个人对复数表示的电压和电流的解释：实部是物理存在，虚部是假想出来的。

freebsder

cruelfox 发表于 2017-10-25 10:36
是的，对复数表示的增益，是不能分开成实部表示什么意义，虚部表示什么意义。但拆成模和辐角，可以有各自 ...

复数代表的“意义”，我上面说了，是已经无意识映射到RR之后讲的每个基每个维的意义，线性组合，组合当然可以分开干。反过来说第一个维度表示阻抗，第二个维度表示电抗。不好听是吧，那我们就说是实部代表阻抗，虚部代表电抗好了，反正你看起来也是那么回事，更具有电工性，而不是数学性。能表达的是RR中的基，并不是复数。复数是一个数，拆开无任何意义。对于复数C来说，虚部也不是假象的，不负责任的说就是RR，是一个基，是动态结构的必然，他的存在描述旋转和平移（或者说线性变换：旋转/平移，等）

hk6108

从侧面看弹簧就有此效果

zhoupxa

这个得顶，枯燥、高深的数学原理就该这样化繁为简、化难为易、化抽象为直观，捣烂了、揉碎了去消化理解

alianyyj

bobde163 发表于 2017-10-25 08:37
我之前也是想不通这个问题，也查找了很多资料，最终也是不清不楚的，楼主的看法，我也是看不明白，我在网上 ...

很不错的呦

lehuijie

cruelfox 发表于 2017-10-25 10:36
是的，对复数表示的增益，是不能分开成实部表示什么意义，虚部表示什么意义。但拆成模和辐角，可以有各自 ...

虚部也是存在的，但是在现实中我们还无法去实体化，目前只存在于数学分析之中。不能把它当做是假想的。数学是对物理的抽象，超前于物理。就像现在我们只能感受到三维世界，但在代数中以可以进行多维计算。

lehuijie

cruelfox 发表于 2017-10-25 10:36
是的，对复数表示的增益，是不能分开成实部表示什么意义，虚部表示什么意义。但拆成模和辐角，可以有各自 ...

虚部也是存在的，但是在现实中我们还无法去实体化，目前只存在于数学分析之中。不能把它当做是假想的。数学是对物理的抽象，超前于物理。就像现在我们只能感受到三维世界，但在代数中以可以进行多维计算。

wiaik

不错，学习下

k9673

太棒了，支持楼主的探究精神

heleijunjie72

虚数，很缥缈的知识，通过该文章很清楚的知道了其应用之一

Nubility

简单理解一下，考虑电容电感电阻因素的时候，电流是一个实部虚部都不为0的复数，看成一个矢量。纯电阻的情况下，虚部为0，电流值和频率无关，电流波形没有相移。非纯电阻的情况下，虚部不为0，电流值和频率有关，而且有相移。所以这里的虚数单位 j 就是表示相移90°， jωL就相当于在ωL那么大的电阻阻值的基础上再让波形移相90°，电阻也是类似的移相90°，只不过是前移和后移的区别

器铭123

讲的很好，之前还没注意到这个问题，只是死记硬背，没有理解原理，也没思考过这个问题