整数开平方算法

Aguilera

整数开平方算法 [复制链接]

本算法只采用移位、加减法、判断和循环实现，因为它不需要浮点运算，也不需要乘除运算，因此可以很方便地运用到各种芯片上去。

我们先来看看10进制下是如何手工计算开方的。
先看下面两个算式，
x = 10*p + q  (1) 公式(1)左右平方之后得：
x^2 = 100*p^2 + 20pq + q^2 (2) 现在假设我们知道x^2和p，希望求出q来，求出了q也就求出了x^2的开方x了。
我们把公式(2)改写为如下格式：
q = (x^2 - 100*p^2)/(20*p+q) (3)

这个算式左右都有q，因此无法直接计算出q来，因此手工的开方算法和手工除法算法一样有一步需要猜值。

我们来一个手工计算的例子：计算1234567890的开方

首先我们把这个数两位两位一组分开，计算出最高位为3。也就是(3)中的p，最下面一行的334为余数，也就是公式(3)中的(x^2 - 100*p^2)近似值

       3    ---------------    | 12 34 56 78 90       9    ---------------    |  3 34

下面我们要找到一个0-9的数q使它最接近满足公式(3)。我们先把p乘以20写在334左边：

       3  q    ---------------    | 12 34 56 78 90       9    ---------------  6q|  3 34

我们看到q为5时(60+q*q)的值最接近334，而且不超过334。于是我们得到：

       3  5    ---------------    | 12 34 56 78 90       9    ---------------  65|  3 34    |  3 25    ---------------          9 56

接下来就是重复上面的步骤了，这里就不再啰嗦了。

这个手工算法其实和10进制关系不大，因此我们可以很容易的把它改为二进制，改为二进制之后，公式(3)就变成了：

q = (x^2 - 4*p^2)/(4*p+q) (4)

我们来看一个例子，计算100(二进制1100100)的开方：

      1  0  1  0    ---------------    | 1 10 01 00      1    --------------- 100| 0 10     | 0 00     ---------------    |   10 011001|   10 01    ---------------            0 00

这里每一步不再是把p乘以20了，而是把p乘以4，也就是把p右移两位，而由于q的值只能为0或者1，所以我们只需要判断余数(x^2 - 4*p^2)和(4*p+1)的大小关系，如果余数大于等于(4*p+q)那么该上一个1，否则该上一个0。

下
面给出完成的C语言程序，其中root表示p，rem表示每步计算之后的余数，divisor表示(4*p+1)，通过a>>30取a的最高
2位，通过a<<=2将计算后的最高2位剔除。其中root的两次<<1相当于4*p。程序完全是按照手工计算改写的，应该不难
理解。

unsigned short sqrt(unsigned long a){
  unsigned long rem = 0;
  unsigned long root = 0;
  unsigned long divisor = 0;
  for(int i=0; i<16; i++){
    root <<= 1;
    rem = ((rem << 2) + (a >> 30));
    a <<= 2;
    divisor = (root<<1) + 1;
    if(divisor <= rem){
      rem -= divisor;
      root++;
    }
  }
  return (unsigned short)(root);
}