算法系列教程定点算数运算之从浮点到定点

Jacktang

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从浮点到定点

    我们在编写DSP模拟算法时，为了方便，一般都是采用高级语言(如C语言)来编写模拟程序。程序中所用的变量一般既有整型数，又有浮点数。如例1.1程序中的变量i是整型数，而pi是浮点数，hamwindow则是浮点数组。

例1.1  256点汉明窗计算
int i；+
float pi=3.14l59；
float hamwindow[256]；
for(i=0；i<256；i++)  hamwindow=0.54-0.46*cos(2.0*pi*i/255)；

如果我们要将上述程序用某种足点DSP芯片来实现，则需将上述程序改写为DSP芯片的汇编语言程序。为了DSP程序调试的方便及模拟定点DSP实现时的算法性能，在编写DSP汇编程序之前一般需将高级语言浮点算法改写为高级语言定点算法。下面我们讨论基本算术运算的定点实现方法。


2.1  加法/减法运算的C语言定点摸拟

设浮点加法运算的表达式为：
float x，y，z；
z=x+y；

将浮点加法/减法转化为定点加法/减法时最重要的一点就是必须保证两个操作数的定标
temp=x+temp；
z=temp>>(Qx-Qz)，若Qx>=Qz
z=temp<<(Qz-Qx)，若Qx<=Qz

例1.4结果超过16位的定点加法
设x=l5000，y=20000，则浮点运算值为z=x+y=35000，显然z>32767，因此
Qx=1，Qy=0，Qz=0，则定点加法为：
x=30000；y=20000；
temp=20000<<1=40000；
temp=temp+x=40000+30000=70000；
z=70000L>>1=35000；

因为z的Q值为0，所以定点值z=35000就是浮点值，这里z是一个长整型数。当加法或加法的结果超过16位表示范围时，如果程序员事先能够了解到这种情况，并且需要保持运算精度时，则必须保持32位结果。如果程序中是按照16位数进行运算的，则超过16位实际上就是出现了溢出。如果不采取适当的措施，则数据溢出会导致运算精度的严重恶化。一般的定点DSP芯片都没有溢出保护功能，当溢出保护功能有效时，一旦出现溢出，则累加器ACC的结果为最大的饱和值(上溢为7FFFH，下溢为8001H)，从而达到防止溢出引起精度严重恶化的目的。


2.2乘法运算的C语言定点模拟

设浮点乘法运算的表达式为：
float x，y，z；
z=xy；

假设经过统计后x的定标值为Qx，y的定标值为Qy，乘积z的定标值为Qz，则
z=xy
zq*2-Qx=xq*yq*2-(Qx+Qy)
zq=(xqyq)2Qz-(Qx+Qy)

所以定点表示的乘法为：
int  x，y，z；
long temp；
temp=(long)x；
z=(temp*y)>>(Qx+Qy-Qz)；

例1.5定点乘法。
设x=18.4，y=36.8，则浮点运算值为=18.4*36.8=677.12；
根据上节，得Qx=10，Qy=9，Qz=5，所以
x=18841；y=18841；
temp=18841L；
z=(18841L*18841)>>(10+9-5)=354983281L>>14=21666；

因为z的定标值为5，故定点z=21666，即为浮点的z=21666/32=677.08。


2.3除法运算的C语言定点摸拟

设浮点除法运算的表达式为：
float x，y，z；
z=x/y；

假设经过统计后被除数x的定标值为Qx，除数y的定标值为Qy，商z的定标值为Qz，则
z=x/y
zq*2-Qz=(xq*2-Qx)/(yq*2-Qy)
zq=(xq*2(Qz-Qx+Qy))/yq
所以定点表示的除法为：
int x，y，z；
long temp；
temp=(long)x；
z=(temp<<(Qz-Qx+Qy))/y；

例1.6定点除法。
设x=18.4，y=36.8，浮点运算值为z=x/y=18.4/36.8=0.5；
根据上节，得Qx=10，Qy=9，Qz=15；所以有
z=18841，y=18841；
temp=(long)18841；
z=(18841L<<(15-10+9)/18841=3O8690944L/18841=16384；
因为商z的定标值为15，所以定点z=16384，即为浮点z=16384/215=0.5。


2.4程序变量的Q值确定
    在前面几节介绍的例子中，由于x，y，z的值都是已知的，因此从浮点变为定点时Q值很好确定。在实际的DSP应用中，程序中参与运算的都是变量，那么如何确定浮点程序中变量的Q值呢？从前面的分析可以知道，确定变量的Q值实际上就是确定变量的动态范围，动态范围确定了，则Q值也就确定了。
设变量的绝对值的最大值为|max|，注意|max|必须小于或等于32767。取一个整数n，使满足
2n-1<|max|<2n
则有
2-Q=2-15*2n=2-(15-n)
Q=15-n

例如，某变量的值在-1至+1之间，即|max|<1，因此n=0，Q=15-n=15。
    既然确定了变量的|max|就可以确定其Q值，那么变量的|max|又是如何确定的呢？一般来说，确定变量的|max|有两种方法。一种是理论分析法，另一种是统计分析法.


  1.  理论分析法
    有些变量的动态范围通过理论分析是可以确定的。例如：

(1)三角函数。y=sin(x)或y=cos(x)，由三角函数知识可知，|y|<=1。

(2)汉明窗。y(n)=0.54一0.46cos[nπn/(N-1)]，0<=n<=N-1。因为-1<=cos[2πn/(N-1)]<=1，所以0.08<=y(n)<=1.0。

(3)FIR卷积。y(n)=∑h(k)x(n-k)，设∑|h(k)|=1.0，且x(n)是模拟信号12位量化值，即有|x(n)|<=211，则|y(n)|<=211。

(4)理论已经证明，在自相关线性预测编码(LPC)的程序设计中，反射系数ki满足下列不等式：|ki|<1.0，i=1，2，...，p，p为LPC的阶数。

  2.  统计分析法
    对于理论上无法确定范围的变量，一般采用统计分析的方法来确定其动态范围。所谓统计分析，就是用足够多的输入信号样值来确定程序中变量的动态范围，这里输入信号一方面要有一定的数量，另一方面必须尽可能地涉及各种情况。例如，在语音信号分析中，统计分析时就必须来集足够多的语音信号样值，并且在所采集的语音样值中，应尽可能地包含各种情况。如音量的大小，声音的种类(男声、女声等)。只有这样，统计出来的结果才能具有典型性。
    当然，统计分析毕竟不可能涉及所有可能发生的情况，因此，对统计得出的结果在程序设计时可采取一些保护措施，如适当牺牲一些精度，Q值取比统计值稍大些，使用DSP芯片提供的溢出保护功能等。