控制之美（卷2）第四节——线性卡尔曼滤波器的研究模型
<div class='showpostmsg'> 本帖最后由 Zhao_kar 于 2024-3-2 17:35 编辑<p style="text-align: center;"><strong><span style="font-size:24px;">控制之美（卷2）第四节——线性卡尔曼滤波器的研究模型</span></strong></p>
<p><span style="color:#e74c3c;">声明：</span></p>
<ul>
<li><span style="color:#e74c3c;">本节为是研究模型的概念，以及结合之前第二节部分的模型补充</span></li>
<li><span style="color:#e74c3c;">然后会有一些数学推导，我会附上我自己记得笔记，可能会比较难看明白，还请体谅（数学推导基本跑不掉，很多的概念需要学习）</span></li>
</ul>
<p><strong><span style="font-size:22px;">一、先引入状态空间方程</span></strong></p>
<ul>
<li>首先是定义一个带有<strong>过程噪声的</strong>线性离散系统的<strong>状态空间方程，见下图</strong></li>
<li>其中从左到右依次为，<strong>状态向量，状态矩阵，输入矩阵，输入向量，过程噪声</strong></li>
<li>过程噪声产生于从k-1到k的这个过程中，无法建立模型，但是可以通过前面补充的正态分布的部分的知识去估计</li>
<li>所以过程噪声服从一个期望0，协方差矩阵Qc的正态分布，见下图
<div style="text-align: center;"></div>
<p> </p>
</li>
</ul>
<p><strong><span style="font-size:22px;">二、然后是观测向量的定义</span></strong></p>
<ul>
<li>其中从左到右依次为<strong>观测向量、观测矩阵、状态向量、测量噪声</strong>
<div style="text-align: center;"></div>
<p> </p>
</li>
<li>这个矩阵H代表观测值与状态向量的关系，观测值也就是设备读取到的值</li>
<li>同一的过程噪声，这个测量噪声也是一个服从Rc的正态分布</li>
<li>然后上面两个概念，都可以考虑协方差矩阵中，相互独立的情况，可以化简为<strong>对角矩阵</strong>
<div style="text-align: center;"></div>
<p> </p>
</li>
</ul>
<p> </p>
<p><strong><span style="font-size:22px;">三、引入先验状态估计</span></strong></p>
<ul>
<li>由于上面两个模型，都具备噪声，都没办法求我们需要的状态向量，但是通过卡尔曼滤波器去数据融合，就可以得到一个相对准确的估值</li>
<li>先假定时不变系统，也就是两个矩阵为常数</li>
<li>则<strong>先验状态估计为，见下</strong>
<div style="text-align: center;"></div>
<p> </p>
</li>
<li>相对原先等式少了过程噪声，同时用估计值代替实际值</li>
<li>同理，对测量值也做一样处理，引入测量估计</li>
<li>其表示<strong>通过测量得到的状态估计值，同时因为测量噪声，所以也是一个根据测量值的估计值</strong></li>
<li>通过这两个估计值，一个是状态空间方程算的，一个是测量后得到的</li>
<li>综上，定义<strong>后验状态估计为</strong></li>
<li><b>然后进行融合，也就是第二节提到的思路，可以得到如下结果。</b>
<div style="text-align: center;"></div>
</li>
</ul>
<p> </p>
<ul>
<li>其中右边括号部分也称为测量残余，当K趋近0时，说明Xk=Xk-，也就是说测量噪声远大于过程噪声</li>
<li>此时有后验接近于先验，相反，K接近于Hm逆时，则说明后验接近于测量值</li>
</ul>
<p><span style="color:#e74c3c;"><strong>上述均为卡尔曼滤波器的一般模型的解释，实际运用中，可以根据这个数据融合的思路去用于其他的模型。</strong></span></p>
<p> </p>
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