控制之美（卷2）第三节——协方差理论

Zhao_kar

控制之美（卷2）第三节——协方差理论 [复制链接]

控制之美（卷2）第三节——协方差理论

声明：

• 本节主要是协方差的补充，以及结合上一次例子的引入
• 然后会有一些数学推导，我会附上我自己记得笔记，可能会比较难看明白，还请体谅

一、协方差与协方差矩阵的基本概念

• 首先在上一节，也就是第二节，用了一个测高度的例子，这个例子中，两个设备的测量结果是不相互影响的，所以在数据融合部分只需要考虑方差即可，但是在多个设备的测量结果是互相影响的情况下，比如一个信号会对第二个信号进行放大或者别的影响，此时就应该考虑关联性了。
• 由这个关系则引出协方差，并且用协方差表示，同时多组信号时，可以使用协方差矩阵
• 接下来就是本次例子的引入，本书使用了一组参数15个的运动员的数据，如身高、体重、年龄
  
    

二、例子的实际引入+计算+结果分析

• 首先具体的参数不重要，这里我就不放出来了，只需要知道n=15，且我们使用三个行向量分别表示
• 如上图的H、W、A，也就是三个参数，此时三个行向量可以写成如下
  

   

• 则此时他们的统计平均数为也就是和除15，见下
  

   

   

• 同理，统计方差也可求，得到如下参数，且标准差也可由此得到，见下图两部分
  

   

• 根据这些数据，首先已知方差和标准差都是度量数据离散程度的一个值，越大则越分散
• 标准差与数据本身使用的是同一单位，相对于方差更加直观，如：
• 上图的数据中，身高平均为181，标准差是6.8，也就是说，这一组数据中基本覆盖在上下6.8的范围内
• 由上可以直观判断，这两个概念只与一组数据有联系，也就是三个标准差只能反映三个行向量的单独关系
• 就好比你不能用身高的标准差去衡量体重的，因此引入协方差
• 协方差是可以决定两组变量的联合变化程度的，首先先见下列式子
  

   

• 由例子计算得到的结果如下，我们针对这三个数据进行观测
• 首先我们舍弃数学的想法，用常识去分析，在对于同一职业运动员时，此处同一是为了舍弃别的影响，自己想想举重和长跑对比就理解了
• 身高与体重肯定是正比关系，而身高与年龄确实有很大关系，但是此处例子均为成年运动员，所以实际上关系并不是很大，同时年龄和体重也是一个道理，或者说：
• 后两个对比，其相关性较弱，在基于常识的理解后，我们根据实际数学结果分析
• 由三个结果，可以判断身高和体重是正相关关系，因为只有他是正值，同时，后两个小于0，可以说明是负相关的。
• 也可以说，绝对值的大小判断，后两个的值太小了，相关性比较微弱，此处附带本书的图，通过这个图就可以更加直观的验证了

三、协方差矩阵

由上述的实例学习，就可以明显的知道后两组关系不明显，此时可以使用一个矩阵把这三个变量的关系以一种形式显示出来，也就是协方差矩阵

PS；协方差矩阵是对称的，详细的表达式见下图

 

补充：若这些事件全部都不相关，也就是说只有对角线有值，其余全为0，根据这个可以进行推导，得到下图的结果，这个分布会跟后面的卡尔曼滤波模型有点关系，下一节再补充

 

 

Jacktang

协方差需要这么多数学推导，学习了