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纯净的硅(初级)

每周一题,放松心情,开阔思维 [复制链接]

 

邀请:@maychang   @chunyang   @eric_wang   @深圳小花   参与回复

该数学问题不需要高级的数学理论来解决,可能是相当简单或者适度的困难

出题者已经有意地避开了特别简单或者困难的问题

然而如果你没有解决数学问题的经验,那么解决这些问题可能有些麻烦

后序的问题并不会按照困难的等级给出

 

第一题

求证如下方程 

y^2=x^3+23

没有整数解

 

 


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上学那会就不会做这样的题,只记得类似题型都是有好几种解的,什么y大于等于0的时候 怎样怎样  小于等于0的是怎样怎样

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五彩晶圆(初级)

X=1  时 Y2= 1 + 23 =24  Y的解非整

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五彩晶圆(初级)

X=1  时  Y2=1+23=24   Y的解非整

X=2  时  Y2=8+23=31   Y的解非整

X=3  时  Y2=27+23=50   Y的解非整

X=4  时  Y2=64+23=87   Y的解非整

 

以此列下去,无穷尽也

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穷举法,适合计算机来运算  详情 回复 发表于 2021-4-27 10:31

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这类证明只能用反证法,即假设y^2=x^3+23有整数解。

观察等式,左边是平方项,而平方数对一些数(8或4)取模后的值有特定分布,非特定值即可判明不是平方数,如此构成反证法的矛盾之处得以解决问题。

比如:设x为偶数,则x^3+23对8取模得7,而模8得7的数必然不是平方数,所以x不可能是偶数,只能是奇数。

再将原式重写成y^2+4=x^3+3^3=(x+3)(x^2-3x+9),然后利用模运算对等式两边分别取模运算,左右两边必然不相等,从而证明x为奇数也不可能,说明无整数解。这里因涉及模运算公式,早忘了,懒得去查,只简单说说方法。解这类题的关键是凑数,把立方项凑成两个立方的和或差,然后就可以因式分解,再对因式进行取模运算(要观察取8合适还是取4合适),再利用对平方数取模后的特定数值分布造成的矛盾实现反证。

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高手,应该就是反证法 找到平方数 立方数的规则 看最后能不能分解因式,不能的话就不存在整数解  详情 回复 发表于 2021-4-27 10:32
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顺便一说,这类题可以说相当的难,估计应该是来自于中学奥数竞赛的题目,没有学过数论(只有部分数学系的专业才会开设)或进行过专门的奥数培训,这类问题根本无从入手。

对绝大多数人而言,我从不主张去做这类题目,除非是打算专攻数学领域。可以说,高考后我就全面放弃解数学难题了,对我的孩子我也不做丝毫这方面的要求,他不问我不说(也确实从未问过)。楼主帖说到的“放松心情,开阔思维”,这类题绝对不适合。什么适合?不要太讲究技巧,尤其是不能涉及专业知识,仅从一般人都能掌握的小学级别的知识出发,运用逻辑和灵活思维能力就好,决不能玩“邪门歪道”。现在国内小学的奥数在我看来都早已成了邪门歪道,太过讲究技巧和对技巧的记忆,更别说中学阶段了。

比解题技巧重要得多的是观察、分析客观世界的能力特别是科学精神和逻辑能力的培养,眼界务必开阔,解题还是算了吧。

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确实挺难的,有100个类似的数学难题,看了一下,基本没有一个很好解决  详情 回复 发表于 2021-4-27 10:34
牛牛牛  详情 回复 发表于 2021-4-27 08:21
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chunyang 发表于 2021-4-24 16:50 顺便一说,这类题可以说相当的难,估计应该是来自于中学奥数竞赛的题目,没有学过数论(只有部分数学系的专 ...

牛牛牛


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纯净的硅(初级)

深圳小花 发表于 2021-4-23 18:08 X=1  时  Y2=1+23=24   Y的解非整 X=2  时  Y2=8+23=31   Y的 ...

穷举法,适合计算机来运算

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穷举法仅适合有限解集的情况,无限解集的题目可没法用穷举法来证明。  详情 回复 发表于 2021-4-27 13:30

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chunyang 发表于 2021-4-24 16:24 这类证明只能用反证法,即假设y^2=x^3+23有整数解。 观察等式,左边是平方项,而平方数对一些数(8或4) ...

高手,应该就是反证法

找到平方数 立方数的规则

看最后能不能分解因式,不能的话就不存在整数解

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解该题的关键可不是什么因式分解,不能因式分解可无法说明不存在整数解,该“证明”思路是完全错误的。  详情 回复 发表于 2021-4-27 13:37

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chunyang 发表于 2021-4-24 16:50 顺便一说,这类题可以说相当的难,估计应该是来自于中学奥数竞赛的题目,没有学过数论(只有部分数学系的专 ...

确实挺难的,有100个类似的数学难题,看了一下,基本没有一个很好解决

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注意,有些题目在小学和初中阶段并不难,但对于高中或以上就完全不同了,因为要求完全不同。比如楼主帖中的题目,把23换成其它有整数解的数,然后找出部分解就是初中数学竞赛的难度,而证明无整数解就成了高中奥数级  详情 回复 发表于 2021-4-27 13:52

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se7ens 发表于 2021-4-27 10:31 穷举法,适合计算机来运算

穷举法仅适合有限解集的情况,无限解集的题目可没法用穷举法来证明。

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se7ens 发表于 2021-4-27 10:32 高手,应该就是反证法 找到平方数 立方数的规则 看最后能不能分解因式,不能的话就不存在整数解

解该题的关键可不是什么因式分解,不能因式分解可无法说明不存在整数解,该“证明”思路是完全错误的。

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se7ens 发表于 2021-4-27 10:34 确实挺难的,有100个类似的数学难题,看了一下,基本没有一个很好解决

注意,有些题目在小学和初中阶段并不难,但对于高中或以上就完全不同了,因为要求完全不同。比如楼主帖中的题目,把23换成其它有整数解的数,然后找出部分解就是初中数学竞赛的难度,而证明无整数解就成了高中奥数级别的难题。而回到前面说的有整数解的题,证明某些整数解就是全部解,这个难度就是数论专业的博士毕业论文级别的,完全称得上是数学家的难题。

所以,你完全找错了“放松心情,开阔思维”的方向。很多事,会则易,不会则难。可数学上的有些事却恰恰相反,会才知道有多难,不会才觉得无所谓。

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让我想起了以前玩的4个牌的24点游戏,感觉,现在很多数学题目都很高深  详情 回复 发表于 2021-5-27 22:04
高手,看的很透 多谢大神的指点 这帖子可以删掉,不浪费大家的时间了  详情 回复 发表于 2021-4-30 15:23
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chunyang 发表于 2021-4-27 13:52 注意,有些题目在小学和初中阶段并不难,但对于高中或以上就完全不同了,因为要求完全不同。比如楼主帖中 ...

高手,看的很透

多谢大神的指点

这帖子可以删掉,不浪费大家的时间了

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那倒是没有必要,留着也许会有感兴趣的网友出现……  详情 回复 发表于 2021-5-1 00:04

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se7ens 发表于 2021-4-30 15:23 高手,看的很透 多谢大神的指点 这帖子可以删掉,不浪费大家的时间了

那倒是没有必要,留着也许会有感兴趣的网友出现……

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还得数学好,不然找个方法还要研究半日  详情 回复 发表于 2021-5-27 22:03
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现在网上有各种难题,真的去一个个研究,不是我们的时间决定的


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chunyang 发表于 2021-5-1 00:04 那倒是没有必要,留着也许会有感兴趣的网友出现……

还得数学好,不然找个方法还要研究半日


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chunyang 发表于 2021-4-27 13:52 注意,有些题目在小学和初中阶段并不难,但对于高中或以上就完全不同了,因为要求完全不同。比如楼主帖中 ...

让我想起了以前玩的4个牌的24点游戏,感觉,现在很多数学题目都很高深


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