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[经验] 无人机常用算法——卡尔曼滤波器(二)

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纯净的硅(中级)

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发表于 2019-5-14 09:53 | 显示全部楼层 |阅读模式
1.3 卡尔曼滤波器算法
(The Kalman Filter Algorithm)
在这一部分,我们就来描述源于Dr Kalman 的卡尔曼滤波器。下面的描述,会涉及一些基本的概念知识,包括概率(Probability),随即变量(Random Variable),高斯或正态分配(Gaussian Distribution)还有State-space Model 等等。但对于卡尔曼滤波器的详细证明,这里不能一一描述。


首先,我们先要引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程(Linear StochasticDifference equation)来描述:
X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)

再加上系统的测量值:
Z(k)=H X(k)+V(k)

上两式子中,X(k)是k 时刻的系统状态,U(k)是k 时刻对系统的控制量。A 和B 是系统参数,对于多模型系统,他们为矩阵。Z(k)是k 时刻的测量值,H 是测量系统的参数,对于多测量系统,H 为矩阵。W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise),他们的covariance 分别是Q,R(这里我们假设他们不随系统状态变化而变化)。

对于满足上面的条件(线性随机微分系统,过程和测量都是高斯白噪声),卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。下面我们来用他们结合他们的covariances 来估算系统的最优化输出(类似上一节那个温度的例子)。

首先我们要利用系统的过程模型,来预测下一状态的系统。假设现在的系统状态是k,根据系统的模型,可以基于系统的上一状态而预测出现在状态:
X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) ……….. (1)

式(1)中,X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果,X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果,U(k)为现在状态的控制量,如果没有控制量,它可以为0。

到现在为止,我们的系统结果已经更新了,可是,对应于X(k|k-1)的covariance 还没更新。我们用P表示covariance:
P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q ……… (2)

式(2)中,P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的covariance,P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的covariance,A’表示A 的转置矩阵,Q 是系统过程的covariance。式子1,2 就是卡尔曼滤波器5 个公式当中的前两个,也就是对系统的预测。

现在我们有了现在状态的预测结果,然后我们再收集现在状态的测量值。结合预测值和测量值,我们可以得到现在状态(k)的最优化估算值X(k|k):
X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) ……… (3)

其中Kg 为卡尔曼增益(Kalman Gain):
Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) ……… (4)

到现在为止,我们已经得到了k 状态下最优的估算值X(k|k)。但是为了要另卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束,我们还要更新k 状态下X(k|k)的covariance:
P(k|k)=(I-Kg(k) H)P(k|k-1) ……… (5)

其中I 为1 的矩阵,对于单模型单测量,I=1。当系统进入k+1 状态时,P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)。这样,算法就可以自回归的运算下去。

卡尔曼滤波器的原理基本描述了,式子1,2,3,4 和5 就是他的5 个基本公式。根据这5 个公式,可以很容易的实现计算机的程序。下面,我会用程序举一个实际运行的例子。


1.4 简单例子
这里我们结合第二第三节,举一个非常简单的例子来说明卡尔曼滤波器的工作过程。所举的例子是进一步描述第二节的例子,而且还会配以程序模拟结果。

根据第二节的描述,把房间看成一个系统,然后对这个系统建模。当然,我们见的模型不需要非常地精确。我们所知道的这个房间的温度是跟前一时刻的温度相同的,所以A=1。没有控制量,所以U(k)=0。

因此得出:
X(k|k-1)=X(k-1|k-1) ……….. (6)

式子(2)可以改成:
P(k|k-1)=P(k-1|k-1) +Q ……… (7)

因为测量的值是温度计的,跟温度直接对应,所以 H=1。式子3,4,5 可以改成以下:

X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-X(k|k-1)) ……… (8)
Kg(k)= P(k|k-1) / (P(k|k-1) + R) ……… (9)
P(k|k)=(1-Kg(k))P(k|k-1) ……… (10)

现在我们模拟一组测量值作为输入。假设房间的真实温度为 25 度,我模拟了200 个测量值,这些测量值的平均值为25 度,但是加入了标准偏差为几度的高斯白噪声(在图中为蓝线)。

为了令卡尔曼滤波器开始工作,我们需要告诉卡尔曼两个零时刻的初始值,是 X(0|0)和P(0|0)。他们的值不用太在意,随便给一个就可以了,因为随着卡尔曼的工作,X 会逐渐的收敛。但是对于P,一般不要取0,因为这样可能会令卡尔曼完全相信你给定的X(0|0)是系统最优的,从而使算法不能收敛。我选了X(0|0)=1度,P(0|0)=10。

该系统的真实温度为 25 度,图中用黑线表示。图中红线是卡尔曼滤波器输出的最优化结果(该结果在算法中设置了Q=1e-6,R=1e-1)。





附 matlab 下面的kalman 滤波程序:
  1. clear
  2. N=200;
  3. w(1)=0;
  4. w=randn(1,N)
  5. x(1)=0;
  6. 5
  7. a=1;
  8. for k=2:N;
  9. x(k)=a*x(k-1)+w(k-1);
  10. end
  11. V=randn(1,N);
  12. q1=std(V);
  13. Rvv=q1.^2;
  14. q2=std(x);
  15. Rxx=q2.^2;
  16. q3=std(w);
  17. Rww=q3.^2;
  18. c=0.2;
  19. Y=c*x+V;
  20. p(1)=0;
  21. s(1)=0;
  22. for t=2:N;
  23. p1(t)=a.^2*p(t-1)+Rww;
  24. b(t)=c*p1(t)/(c.^2*p1(t)+Rvv);
  25. s(t)=a*s(t-1)+b(t)*(Y(t)-a*c*s(t-1));
  26. p(t)=p1(t)-c*b(t)*p1(t);
  27. end
  28. t=1:N;
  29. plot(t,s,'r',t,Y,'g',t,x,'b');
复制代码



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宇宙尘埃

发表于 2019-5-14 11:09 | 显示全部楼层
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