无人机常用算法——卡尔曼滤波器（二）

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1.3 卡尔曼滤波器算法
（The Kalman Filter Algorithm）
在这一部分，我们就来描述源于Dr Kalman 的卡尔曼滤波器。下面的描述，会涉及一些基本的概念知识，包括概率（Probability），随即变量（Random Variable），高斯或正态分配（Gaussian Distribution）还有State-space Model 等等。但对于卡尔曼滤波器的详细证明，这里不能一一描述。

首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程（Linear StochasticDifference equation）来描述：
X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)

再加上系统的测量值：
Z(k)=H X(k)+V(k)

上两式子中，X(k)是k 时刻的系统状态，U(k)是k 时刻对系统的控制量。A 和B 是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。Z(k)是k 时刻的测量值，H 是测量系统的参数，对于多测量系统，H 为矩阵。W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的covariance 分别是Q，R（这里我们假设他们不随系统状态变化而变化）。

对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。下面我们来用他们结合他们的covariances 来估算系统的最优化输出（类似上一节那个温度的例子）。

首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。假设现在的系统状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态：
X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) ……….. (1)

式(1)中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。

到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的covariance 还没更新。我们用P表示covariance：
P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q ……… (2)

式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的covariance，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的covariance，A’表示A 的转置矩阵，Q 是系统过程的covariance。式子1，2 就是卡尔曼滤波器5 个公式当中的前两个，也就是对系统的预测。

现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。结合预测值和测量值，我们可以得到现在状态(k)的最优化估算值X(k|k)：
X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) ……… (3)

其中Kg 为卡尔曼增益(Kalman Gain)：
Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) ……… (4)

到现在为止，我们已经得到了k 状态下最优的估算值X(k|k)。但是为了要另卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束，我们还要更新k 状态下X(k|k)的covariance：
P(k|k)=（I-Kg(k) H）P(k|k-1) ……… (5)

其中I 为1 的矩阵，对于单模型单测量，I=1。当系统进入k+1 状态时，P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)。这样，算法就可以自回归的运算下去。

卡尔曼滤波器的原理基本描述了，式子1，2，3，4 和5 就是他的5 个基本公式。根据这5 个公式，可以很容易的实现计算机的程序。下面，我会用程序举一个实际运行的例子。

1.4 简单例子
这里我们结合第二第三节，举一个非常简单的例子来说明卡尔曼滤波器的工作过程。所举的例子是进一步描述第二节的例子，而且还会配以程序模拟结果。

根据第二节的描述，把房间看成一个系统，然后对这个系统建模。当然，我们见的模型不需要非常地精确。我们所知道的这个房间的温度是跟前一时刻的温度相同的，所以A=1。没有控制量，所以U(k)=0。

因此得出：
X(k|k-1)=X(k-1|k-1) ……….. (6)

式子（2）可以改成：
P(k|k-1)=P(k-1|k-1) +Q ……… (7)

因为测量的值是温度计的，跟温度直接对应，所以 H=1。式子3，4，5 可以改成以下：

X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-X(k|k-1)) ……… (8)
Kg(k)= P(k|k-1) / (P(k|k-1) + R) ……… (9)
P(k|k)=（1-Kg(k)）P(k|k-1) ……… (10)

现在我们模拟一组测量值作为输入。假设房间的真实温度为 25 度，我模拟了200 个测量值，这些测量值的平均值为25 度，但是加入了标准偏差为几度的高斯白噪声（在图中为蓝线）。

为了令卡尔曼滤波器开始工作，我们需要告诉卡尔曼两个零时刻的初始值，是 X(0|0)和P(0|0)。他们的值不用太在意，随便给一个就可以了，因为随着卡尔曼的工作，X 会逐渐的收敛。但是对于P，一般不要取0，因为这样可能会令卡尔曼完全相信你给定的X(0|0)是系统最优的，从而使算法不能收敛。我选了X(0|0)=1度，P(0|0)=10。

该系统的真实温度为 25 度，图中用黑线表示。图中红线是卡尔曼滤波器输出的最优化结果（该结果在算法中设置了Q=1e-6，R=1e-1）。




附 matlab 下面的kalman 滤波程序：

1. clear
   
2. N=200;
   
3. w(1)=0;
   
4. w=randn(1,N)
   
5. x(1)=0;
   
6. 5
   
7. a=1;
   
8. for k=2:N;
   
9. x(k)=a*x(k-1)+w(k-1);
   
10. end
    
11. V=randn(1,N);
    
12. q1=std(V);
    
13. Rvv=q1.^2;
    
14. q2=std(x);
    
15. Rxx=q2.^2;
    
16. q3=std(w);
    
17. Rww=q3.^2;
    
18. c=0.2;
    
19. Y=c*x+V;
    
20. p(1)=0;
    
21. s(1)=0;
    
22. for t=2:N;
    
23. p1(t)=a.^2*p(t-1)+Rww;
    
24. b(t)=c*p1(t)/(c.^2*p1(t)+Rvv);
    
25. s(t)=a*s(t-1)+b(t)*(Y(t)-a*c*s(t-1));
    
26. p(t)=p1(t)-c*b(t)*p1(t);
    
27. end
    
28. t=1:N;
    
29. plot(t,s,'r',t,Y,'g',t,x,'b');

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月下良缘

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